高考数学新增分大讲义立体几何与空间向量高考专题突破---精校解析Word版

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1、高考专题突破　高考中的立体几何问题题型一　求空间几何体的表面积与体积例1　(1)一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图和俯视图均为边长等于2的正方形，则这个几何体的表面积为(　　)A.16＋4B.16＋4C.20＋4D.20＋4答案　D解析　由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体的内部挖去一个底面边长为2的正四棱锥，将三视图还原可得如图，可得其表面积为S＝5×22＋4××2×＝20＋4，故选D.(2)(2018·浙江省嘉兴市第一中学期中)如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA⊥圆O所

2、在平面，且PA＝AB＝2，过点A作平面α⊥PB，交PB，PC分别于E，F，当三棱锥P－AEF体积最大时，tan∠BAC＝________.答案　解析　∵PB⊥平面AEF，∴AF⊥PB，又AC⊥BC，AP⊥BC，AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又∵AF⊂平面PAC，∴AF⊥BC，又∵PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AF⊥平面PBC，∴∠AFE＝90°，设∠BAC＝θ，在Rt△PAC中，AF＝＝＝.在Rt△PAB中，AE＝PE＝，∴EF＝，∴V三棱锥P－AEF＝·AF·EF·PE＝AF·×＝·＝

3、≤，∴当AF＝1时，三棱锥P－AEF的体积取最大值，此时＝1，且0°<θ<90°，∴cosθ＝，sinθ＝，tanθ＝.思维升华(1)等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)不规则的几何体可通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.跟踪训练1　(1)(2018·嘉兴模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积(单位：cm2)是(　　)A.36＋24B.36＋12C.40＋24D.40＋12答案　B解析　由三视图得该几何体为一个组合体，上面是棱长为2的正方体，下面是下底为边长为4的正方形、上底为边长为2的正

4、方形的四棱台，则其表面积为5×22＋4××＋42＝36＋12，故选B.(2)(2018·温州高考适应性测试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)A.＋πB.＋πC.D.答案　A解析　由三视图可还原出几何体的直观图，该几何体是由半个圆柱(底面圆的半径为1，高为2)和一个四棱锥(底面为边长是2的正方形，高为1)组成的，如图所示.故该几何体的体积V＝×π×12×2＋×22×1＝＋π.故选A.题型二　空间点、线、面的位置关系例2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1

5、，E，F分别是A1C1，BC的中点.(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积.(1)证明　在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明　方法一　如图1，取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以F

6、G∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.方法二　如图2，取AC的中点H，连接C1H，FH.因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HF∥AB，又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，所以EC1∥AH，且EC1＝AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1H∥AE，又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，所以平面ABE∥平面C1HF，又C1F⊂平面C1HF，所以C1F∥平面ABE.(3)解　因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB

7、⊥BC，所以AB＝＝.所以三棱锥E－ABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.思维升华(1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反.在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用.(2)垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时，一般

8、需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题.跟踪训练2　如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证