高考数学二轮复习 课时跟踪检测（十八）文

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1、课时跟踪检测（十八）1．(2017·石家庄质检)设M，N，T是椭圆＋＝1上的三个点，M，N在直线x＝8上的射影分别为M1，N1.(1)若直线MN过原点O，直线MT，NT的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)若M，N不是椭圆长轴的端点，点L的坐标为(3,0)，△M1N1L与△MNL的面积之比为5∶1，求MN中点K的轨迹方程．解：(1)证明：设M(p，q)，N(－p，－q)，T(x0，y0)，则k1k2＝＝，又故＋＝0，即＝－，所以k1k2＝－，为定值．(2)设直线MN与x轴相交于点R(r,0)，S△MNL＝

2、r－3

3、·

4、yM－yN

5、，

6、S△M1N1L＝·5·

7、yM1－yN1

8、.因为S△M1N1L＝5S△MNL，所以·5·

9、yM1－yN1

10、＝5·

11、r－3

12、·

13、yM－yN

14、，又

15、yM1－yN1

16、＝

17、yM－yN

18、，解得r＝4(舍去)，或r＝2，即直线MN经过点F(2,0)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，K(x0，y0)，①当MN垂直于x轴时，MN的中点K即为F(2,0)；②当MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y＝k(x－2)，则消去y得，(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－48＝0.x1＋x2＝，x1x2＝.x0＝，y0＝.消去k，整理得(x0－1)2＋＝1(y1≠0)

19、．经检验，(2,0)也满足(x0－1)2＋＝1.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。综上所述，点K的轨迹方程为(x－1)2＋＝1(x>0)．2．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A(

20、x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.联立可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．3．(2017·宁波模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点P(－2,0)与点(1,1)．(1)求椭圆的方

21、程；(2)过P点作两条互相垂直的直线PA，PB，交椭圆于A，B，求证：直线AB经过定点．解：(1)由题意得，解得a2＝4，b2＝，椭圆的方程为＋＝1.(2)证明：由对称性知，若存在定点，则必在x轴上，当kPA＝1时，lPA：y＝x＋2，∴∴x2＋3(x2＋4x＋4)＝4⇒x＝－1.以下验证：定点为(－1,0)，非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。由题意知，直线PA，PB的斜率均存在，设直线PA的方程为y＝k(x＋2)，A(xA，

22、yA)，B(xB，yB)．则x2＋3k2(x2＋4x＋4)＝4⇒xA＝，yA＝，同理xB＝，yB＝－，则＝＝，得证．4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y2＝4x的焦点重合．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．解：(1)由题意知椭圆的一个焦点为F(1,0)，则c＝1.由e＝＝得a＝，∴b＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知A(0,1)，当直线BC的斜

23、率不存在时，设BC：x＝x0，设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)，kAB·kAC＝·＝＝＝≠，不合题意．故直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为：y＝kx＋m(m≠1)，并代入椭圆方程，得：(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，①由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0，得2k2－m2＋1>0.②设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝，由kAB·kAC＝·＝得：4y1y2－4(y1＋y2)＋4＝x1x2，非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向

24、股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。即(4k2－1)x1