高中数学 第二章 概率 2 超几何分布教学案 北师大版选修2-3

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1、§2超几何分布超几何分布已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X表示取得的次品数．问题1：X可能取哪些值？提示：0,1,2.问题2：“X＝1”表示的试验结果是什么？P(X＝1)的值呢？提示：任取2件产品中恰有1件次品．P(X＝1)＝.问题3：如何求P(X＝k)？(k＝0,1,2)提示：P(X＝k)＝.超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件是次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝(其中k为非负整数)．如果一个随机变量

2、的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．(1)超几何分布，实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(X＝k)＝①(k≤l，l是n和M中较小的一个)．(2)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式①求出X取不同值时的概率非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作

3、的高度重视和支持。P，从而写出X的分布列．利用超几何分布公式求概率[例1]　高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．[思路点拨]　若以30个球为一批产品，则球的总数30可与产品总数N对应，红球数10可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出5个球，即n＝5，这5个球中红球的个数X是一个离散型随机变量，X服从超几何分布．[精解详析]　若以30个球为一批产品，其

4、中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分布．由公式得P(X＝4)＝＝≈0.0295，所以获一等奖的概率约为2.95%.[一点通]　解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意M，N，n，k的取值．1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.解析：由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P＝＝.答案：B2．设10件产品中，有3件次品，现从中抽

5、取5件，用X表示抽得次品的件数，则X服从参数为________(即定义中的N，M，n)的超几何分布．答案：10,3,5非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。3．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．解：设选出的女同学人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，且X服从参数为N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布，于是选

6、出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝或P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.超几何分布的分布列[例2]　(10分)从5名男生和3名女生中任选3人参加某运动会火炬接力活动，若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列及P(X<2)．[思路点拨]　可以将8人看作8件“产品”，3名女生看作3件“次品”，任选3人中女生的人数可看作是任取3件“产品”中所含的“次品”数．[精解详析]　由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布．其中N

7、＝8，M＝3，n＝3，(2分)所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.(8分)从而随机变量X的分布列为X＝k0123P(X＝k)所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.(10分)[一点通]　解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决．4．(重庆高考改编)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张

8、卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p＝＝.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3