高中数学第二章概率2超几何分布导学案北师大版选修2-3

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1、北师大版高中数学选修2_3导学案§2超几何分布自主整理一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的个数，那么P(X=k)=______________(其中k为非负整数).如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为______________的超几何分布.高手笔记1.超几何分布，实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率

2、为P(X=k)=①(k≤l，l是n和M中较小的一个).2.在超几何分布中，只要知道N、M和n，就可以根据公式①求出X取不同值时的概率P，从而列出X的分布列.名师解惑1.如何判断随机变量X是否服从超几何分布？剖析：判断超几何分布时必须满足以下两条：(1)总数为N件的物品只分为两类：M(M≤N)件甲类(或次品)，其余的N-M件为乙类(或正品).(2)随机变量X表示从N件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲类物品的件数.2.当随机变量X服从参数为N、M、n(M≤N，n≤N)的超几何分布时，X的所有可

3、能取值有哪些？剖析：当N-M≥n时，X的所有可能取值为：0,1,2，…，l(l为M与n中较小的一个)，例如(1)从10件产品(含有4件次品)中取3件，其中含有的次品数X的所有可能取值为0，1,2，3.(2)从10件产品(含有2件次品)中取3件，其中含有的次品数X的所有可能取值为0，1,2.当N-M

4、从10件产品(含5件次品)中取8件，其中含有的次品数X的所有可能取值为3,4，5.讲练互动【例1】从含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：(1)取到的次品件数X的分布列；(2)至少取到1件次品的概率.分析：根据题意，取到的次品件数X为离散型随机变量，且X服从参数为N=100，M=5，n=3的超几何分布.解：(1)∵X服从参数为N=100，M=5，n=3的超几何分布，它的可能取值为0，1,2，3，由公式P(X=k)=(其中k为非负整数)，可得随机变量X的分布列为：X0123北师大版高中数学选

5、修2_3导学案P(2)根据随机变量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率为：P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.13806+0.00588+0.00006=0.14400.故至少取到1件次品的概率约为0.14400.绿色通道:准确找出随机变量X的取值，是解决此类问题的关键.变式训练1．从5名男生和3名女生中任选3人参加奥数训练，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列；(2)求“所选3人中女生人数X>1”的概率.解：(1)X可能取的值为0，1,2，3，P(X

6、=k)=，k=0,1，2,3.所以X的分布列为：X0123P(2)由(1)，“所选3人中女生人数X>1”的概率为P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=.【例2】在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.分析：由题意知，摸到红球个数X为离散型随机变量，且X服从参数为N=30，M=10，n=5的超几何分布.解：∵X服从超几何分布，且X的可能取值为0，1,2，3,4，5，则至少摸到3

7、个红球的概率为：P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=≈0.1912.故中奖的概率约为0.1912.绿色通道:由超几何分布的概念、公式以及上述两例我们知道：第一，当研究的事物涉及二维离散型随机变量(比如：次品、两类颜色等问题)时的概率分布可视为一个超几何分布；第二，在超几何分布中，只要知道参数N、M、n就可以根据公式求出X取不同值时的概率，进而列出X的分布列.变式训练2.从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取3个，求抽得次品数X的分布列，并求P(≤X≤).分析：先弄清楚随机变

8、量X的取值，符合超几何分布，运用超几何分布的概率计算.解：X的可能取值为0，1,2.北师大版高中数学选修2_3导学案P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=所以X的分布列为：X012PP(≤X≤)=P(X=1)+P(X=2)=.【例3】某商场庆“五一”举行促销活动，活动期间凡在商场购物满88元的顾客，凭发票都有一次摸奖机会，摸奖规则如下：准备了10个相同的球，其中有5个球上印有“奖”字，另外5个球上无任何标志，摸奖前在盒子里摇匀，然后由摸奖者随机地从中摸出5个球，奖品按摸出的