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时间：2019-01-12
《二00四年全国高中数学联合竞赛四川初赛》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、二00四年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（9月12日上午9：00～11：00）一、选择题（本题满分30分，每小题5分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且只有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得5分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1.函数是（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）既不是奇函数也不是偶函数2.已知对任意整数都有，若，则=（）（A）2002（B）2003（C）2004（D）20053.已知不等式≥0
2、恒成立，则实数m的取值范围是（）（A）0≤m≤4（B）1≤m≤4（C）m≥4或m≤0（D）m≥1或m≤04.母线长为的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为（）（A）1（B）2（C）3（D）45.正三棱锥相邻侧面所成二面角，等于侧面与底面所成二面角的两倍，则侧棱与底面边长之比为（）（A）（B）（C）（D）6.函数的最大值等于（）（A）（B）（C）（D）二、填空题（本题满分30分，每小题5分）本题共6小题，要求直接将答案写在横线上。7.已知函数，则=.8.不等式≤的解集为.9.某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号，则在这90000个牌照中数字
3、9至少出现一个，并且各数字之和是9的倍数的车牌照共有个.10.若04、和F.证明：D、E、F三点共线。15.设A=，用表示A的所有非空真子集中各元素之和；表示A的子集的个数，求的值.16.已知椭圆ε：（a>b>0），动圆：，其中b5、≥2）…………………………5分令，则；，（n≥2）………………10分于是，即，（n≥2）………………………15分故，（n≥2），因为也符合上述式子所以，（n≥1）………………………………………………20分14.证明：连结AO、OD，并延长OD交△ABC的外接圆于M则OD⊥BC，弧BM=弧MC∴A、E、M三点共线∵AE、AF分别是△ABC的∠A及其外角的平分线∴AE⊥AF……………………5分又∵HE⊥AE，HF⊥AF∴四边形AEHF为矩形因此，AH与EF互相平分，设其交点为G，于是AG=AH=EF=EG………………10分而OA=OM且OD∥AH∴∠OAM=∠OMA=∠6、MAG=∠GEA故EG∥OA①……………………15分∵O、H分别是△ABC的外心和垂心，且OD⊥BC∴OD=AH=AG，因此，若连结DG，则四边形AODG为平行四边形从而DG∥OA②由①和②知，D、E、G三点共线，但F在EG上故D、E、F三点共线…………………………20分15.解：易知…………………………5分先考察元素1在A的所有非空真子集中出现的次数，易知在1元素集中出现1次，即C次，在2元素集中出现，在3元素集中出现次，…，在元素集中出现，故数字1在A的所有非空真子集中出现的总次数为，………………10分于是…………………15分所以…………………………………………7、…10分16.解：设A、B，直线AB的方程为因为A既在椭圆上又在直线AB上，从而有将（1）代入（2）得由于直线AB与椭圆相切，故从而可得，（3）……………………5分同理，由B既在圆上又在直线AB上，可得，（4）……………………10分由（3）、（4）得，即，当且仅当时取等号所以A、B两点的距离的最大值为.…………………………20分.
4、和F.证明：D、E、F三点共线。15.设A=，用表示A的所有非空真子集中各元素之和；表示A的子集的个数，求的值.16.已知椭圆ε：（a>b>0），动圆：，其中b5、≥2）…………………………5分令，则；，（n≥2）………………10分于是，即，（n≥2）………………………15分故，（n≥2），因为也符合上述式子所以，（n≥1）………………………………………………20分14.证明：连结AO、OD，并延长OD交△ABC的外接圆于M则OD⊥BC，弧BM=弧MC∴A、E、M三点共线∵AE、AF分别是△ABC的∠A及其外角的平分线∴AE⊥AF……………………5分又∵HE⊥AE，HF⊥AF∴四边形AEHF为矩形因此，AH与EF互相平分，设其交点为G，于是AG=AH=EF=EG………………10分而OA=OM且OD∥AH∴∠OAM=∠OMA=∠6、MAG=∠GEA故EG∥OA①……………………15分∵O、H分别是△ABC的外心和垂心，且OD⊥BC∴OD=AH=AG，因此，若连结DG，则四边形AODG为平行四边形从而DG∥OA②由①和②知，D、E、G三点共线，但F在EG上故D、E、F三点共线…………………………20分15.解：易知…………………………5分先考察元素1在A的所有非空真子集中出现的次数，易知在1元素集中出现1次，即C次，在2元素集中出现，在3元素集中出现次，…，在元素集中出现，故数字1在A的所有非空真子集中出现的总次数为，………………10分于是…………………15分所以…………………………………………7、…10分16.解：设A、B，直线AB的方程为因为A既在椭圆上又在直线AB上，从而有将（1）代入（2）得由于直线AB与椭圆相切，故从而可得，（3）……………………5分同理，由B既在圆上又在直线AB上，可得，（4）……………………10分由（3）、（4）得，即，当且仅当时取等号所以A、B两点的距离的最大值为.…………………………20分.
5、≥2）…………………………5分令，则；，（n≥2）………………10分于是，即，（n≥2）………………………15分故，（n≥2），因为也符合上述式子所以，（n≥1）………………………………………………20分14.证明：连结AO、OD，并延长OD交△ABC的外接圆于M则OD⊥BC，弧BM=弧MC∴A、E、M三点共线∵AE、AF分别是△ABC的∠A及其外角的平分线∴AE⊥AF……………………5分又∵HE⊥AE，HF⊥AF∴四边形AEHF为矩形因此，AH与EF互相平分，设其交点为G，于是AG=AH=EF=EG………………10分而OA=OM且OD∥AH∴∠OAM=∠OMA=∠
6、MAG=∠GEA故EG∥OA①……………………15分∵O、H分别是△ABC的外心和垂心，且OD⊥BC∴OD=AH=AG，因此，若连结DG，则四边形AODG为平行四边形从而DG∥OA②由①和②知，D、E、G三点共线，但F在EG上故D、E、F三点共线…………………………20分15.解：易知…………………………5分先考察元素1在A的所有非空真子集中出现的次数，易知在1元素集中出现1次，即C次，在2元素集中出现，在3元素集中出现次，…，在元素集中出现，故数字1在A的所有非空真子集中出现的总次数为，………………10分于是…………………15分所以…………………………………………
7、…10分16.解：设A、B，直线AB的方程为因为A既在椭圆上又在直线AB上，从而有将（1）代入（2）得由于直线AB与椭圆相切，故从而可得，（3）……………………5分同理，由B既在圆上又在直线AB上，可得，（4）……………………10分由（3）、（4）得，即，当且仅当时取等号所以A、B两点的距离的最大值为.…………………………20分.
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