2005年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)

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1、2005年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）9月17日上午8：30－10：30一、选择题（本题满分30分，每小题5分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且只有一个是正确。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得5分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1．已知正项非常值数列，满足：成等差数列，成等比数列。令，则下列关于数列的说法正确的是（A）为等差数列　（B）为等比数列　（C）的每一项为奇数（D）的每一项为偶数解：由题可知，，，∴∴，即，∴为等

2、差数列，故选A2．在△中，分别是角所对边的边长，若，则的值是（A）1　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）2解：由得，即，由正弦函数的有界性及为三角形的内角可知，且，从而，∴∴3．函数的最小值是（A）1　　　　（B）2　　　　（C）　　　　（D）解：令，则，最小值为，故选D4．双曲线的左焦点为，顶点为，是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段为直径的两圆一定（A）相交　　　（B）内切　　　　（C）外切　　　（D）相离解：设双曲线的另一个焦点为，线段的中点为，在△中，为的中点，为的中点，从而，从而以线段为直径的两圆一定内切。

3、5．设，若“方程满足，且方程至少有一根”，就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为（A）8　　　　（B）10　　　　（C）12　　　　（D）14解：，由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为时，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为时，有3　个满足题意的“漂亮方程”。共有12个，故选C。6．设是的任一排列，是到的映射，且满足，记数表。若数表的对应位置上至少有一个不同，就说是两张不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为（A）144　　　（B）192　　　　（C）216　　　　　（D）576解：对于的一个

4、排列，可以9个映射满足，而共有个排列，所以满足条件的数表共有张，故选C。二、填空题（本题满分30分，每小题5分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7．函数的最大值与最小值之差等于。解：，从而当时取最大值当时取最小值0，从而最大值与最小值之差等于8．设，则满足不等式的的取值范围是。解：由，可得，解得9．如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有　120　　条。解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共，其中所有的棱都在原立方体的

5、表面，有36条原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连条，6个面共120条都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部。10．设，其中满足，则的最小值为。解：由，得又11．设△内接于半径为的⊙，且，为底边BC上的高，则的最大值为。解：如图，设，则，＝其中所以的最大值为12．设为整数，集合中的数由小到大组成数列：，则　　　131　　　。解：∵为整数且，∴最小取2，此时符合条件的数有，可在中取，符合条件有的数有同理，时，符合条件有的数有时，符合条件有的数有时，符合条件有的数有时，符合条件有的数有因此，是中的最小值

6、，即三、解答题（本题满分80分，每小题20分）13．如图，是△的两条高，和分别是和的中点，是△的外心。求证：∥。证明：如图，连结和∵，∴，又∵∴延长交于，连结∵∴四点共圆。，即又∵∴于是，，即∴∥。14．正方形的两顶点在抛物线上，两点在直线上，求正方形的边长。解：设两点坐标分别为、，显然∵∥，∴，即一方面，　　　　　　∴　　　　　　　　　①另一方面，，∴　　　　　　　　②将①代入②，得，即故或15．设实数满足条件，，其中，求的是最大值。解：，∴从而，当且仅当，，时等号成立。即，，时，有最大值16．某班有20人，参加语文、数学

7、考试各一次，考试结果是：①没有0分；②没有两个同学的语文、数学成绩相同。我们说“同学A比B的成绩好”，是指“同学A的语文、数学成绩都不低于B”。证明：存在三个同学A、B、C，使得同学A比同学B的成绩好，同学B比C的成绩好。证明：若同学A比B的成绩好，记为。原问题等价于证明：存在三个同学A、B、C满足用表示第个同学的语文、数学成绩（）。于是且等号不能同时成绩。因为语文成绩（）在1到10的整数值中取值，对这20个同学的语文成绩，由抽屉原理知，下列情形之一必然出现：情形1：某个分数值，至少有3人取得。即存在某个，使得（其中两两不等

8、）。情形2：每个分数值，恰好均有2人取得，即对任意的，存在不同的，使得。同理，对于数学成绩同样有两种情形：情况：存在某个，使得（其中两两不等）。情形：对任意的，存在不同的，使得。下面进行讨论：对情况形1：若，则由条件知两两不等。不失一般性，不妨设，则，即存在三个同学存在三个同学A、B、C满