2017年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)word版.docx

《2017年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)word版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2017年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（5月14日下午14:30—16:30）题目一二三总成绩13141516得分评卷人复核人考生注意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。3.计算器，通讯工具不准待入考场。4.解题书写不要超过封线一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1.已知函数处有极值，则实数a的值是（）A.-2B.-1C.1D.22.已知的两个根，则（）A.B.C.D.3.在的展开式。所有形如的项的系数之和是（）A.112B.448C.17

2、92D.143364.已知的左，右焦点，该椭圆上存在两点A,B,使得,则该椭圆的离心率的取值范围是（）A.（0.）B.（0.）C.（，1）D.（，1）5.已知△ABC中，的最大值时（）A.B.C.2D.6.已知数列满足：，用表示不超过实数x的最大整数，则的个位数是（）A.2B.4C.6D.8二，填空题（本大题共6个小题，每条题5分，共30分）7.已知函数=_________.8.设，其中是虚数单位，若成等比数列，则实数a的值是___________.9.若是双曲线上的点，则的最小值是_________.10.如图，

3、设正方体的棱长为1，α为过直线的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是_________.11.已知实数满足：的最大值是____.12.设集合则集合A中元素的个数是___________三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13.已知数列满足：（1）若a=3,求证：数列成等比数列，并求出数列的通项公式；（2）若对任意的正整数n,都有，求实数a的取值范围。14.1993年，美国数学家F.Smarandache提出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是著名的Smarandache函数。

4、正整数n的Smarandache函数定义为，比如：（1）求数S（16）和S（2016）的值；（2）若S（n）=7,求正整数n的最大值；（3）证明：存在无穷多个合数n，使得,其中的最大质因数.15.如图，轴上，且关于y轴对称，过点垂直于x轴的直线与抛物线交于B,C,点D为线段AB上的动点，点E在线段AC上，满足（1）求证：直线DE与此抛物线有且只有一个公共点；（2）设直线DE与此抛物线的公共点F，记△BCF与△ADE的面积分别为,求的值.16.设为实数，若对任意的实数恒成立，其中求的最大值和的最小值2017年全国高中

5、数学联赛（四川初赛）试题草考答案及评分标准一，选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1.A2.B3.C4.C5.B6.A二，填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7.10088.09.210.11.212.243三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13.证明：（1）因为所以，数列成等比数列……5分于是即数列的通项公式……10分（2）法1：因为对任意的正整数n都成立，故由（1）知①当3

6、注意到，满足条件综上，所求实数a的取值范围……20分法2：因为对任意的正整数n都成立，故下面用数学归纳法证明：当时，对任意的正整数n，都有当时，结论成立：假设当，……15分于是结论对也成立.由归纳原理知，对任意的正整数n，都有综上，所求实数a的取值范围……20分14.解：因为……5分由又……10分（2）由又……15分（3）因为对任意奇质数所以，存在无穷多个合数n,使得……20分15，解：（1）设所以可得设于是设所以E的坐标为因此直线DE的斜率为：，……5分所以直线DE的方程是化简得，①与抛物线方程联立，得即②此时，

7、方程②有两个相等的根：代入①，得所以直线DE与此抛物线有且只有一个公共点……10分（2）……15分设直线DE与x轴交于点G，令解得于是所以……20分16.解：取（1）先证：因为……5分（1）再证：综上可知，α的最大值是3，β的最小值是3    ……20分