高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3_4 曲线与方程教学案 北师大版选修2-1

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1、§4曲线与方程4．1　曲线与方程在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中．问题1：直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？提示：相等．问题2：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上吗？提示：不一定．问题3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y＝±x.方程的曲线、曲线的方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．判断方程

2、是否是曲线的方程，要从两方面考虑，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．曲线与方程的概念的理解[例1]　(1)判断点A(－4,3)，B(－3，－4)，C(，2)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，)与点N在曲线C上，求m，n的值．[思路点拨]　由曲线与方程的关系知，只要点

3、M的坐标适合曲线的方程，则点M就在方程所表示的曲线上；而若点M为曲线上的点，则点M的坐标(x0，y0)一定适合曲线的方程．[精解详析]　(1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；把点B(－3，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－3)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．把点C(，2)的坐标代入x2＋y2＝25，得()2＋(2)2＝25，满足方程，但因为横坐标不满足x≤0的条件，所以点C不在方程

4、x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M(m，)，N在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m2(m2－1)＝2×1，×＝n2(n2－1)，解得m＝±，n＝±或±.[一点通]　1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．1．“点M在曲线y2＝4x上

5、”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的(　　)A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：点M在曲线y2＝4x上，若点M(x0，y0)，则y＝4x0，不能得出y0＝－2；若点M(x0，y0)满足方程y＝－2，则y0＝－2，∴y＝4x0，故为必要不充分条件．答案：B2．判断下列结论的正误，并说明理由．(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝0；(2)到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**

6、百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；(4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程为x＝0.解：(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x＝3，∴结论不正确．(2)∵到x轴距离为2的点的轨迹方程是y＝±2，∴结论错误．(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为

7、x

8、·

9、y

10、＝1，即xy＝±1，∴结论错误．(4)中线AD是一条线段，而不是直线，应为x＝0(－3≤y≤0)，∴结论错误.由方程确定曲线[例2]　(1)方程(x＋

11、y－1)＝0表示什么曲线？(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？[思路点拨]　由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图像，可由方程的特点入手分析．[精解详析]　(1)由方程(x＋y－1)＝0可得：或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)，(2)方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴∴∴方程表示的图形为点A(1，－1)．[一点通]　曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配

12、方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性．3．方程

13、x

14、