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《高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念同步练习 北师大版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学第四章定积分1定积分的概念同步练习北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.用定积分定义求由x=2,x=3,y=,y=0围成的图形的面积.解:在[2,3]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间[2,2+],[2+,2+]…[2+,3],记第i个区间为[2+,2+](i=1,2,…,n),其长度为Δx=.分别过上述n-1个分点作x轴的垂线与曲边梯形相交,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别为ΔS1、ΔS2、…ΔSn,显然S=,设f(x)=,如图所示,当n很大时,Δx很小,在区间[2+,2+]上,可以认为函数f(x)=的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它
2、近似地等于ξi=处的函数值f(ξi)=,这样在区间[2+,2+]上,用小矩形面积ΔS′i近似地代替ΔSi,则有ΔSi≈ΔS′i=f(ξi)·Δx=·=(i=1,2,…,n).∴Sn=ΔS′i=f(ξi)·=［］=.思路分析:定积分的概念产生于分割、近似代替、求和、取极限这四步.故用四步法求定积分要注意解题的层次性,当然本题省略了求极限这一步.2.已知某物体做直线运动,其在时刻t(s)的速度为v(t)=t3(m/s),求物体在时刻t=0秒至时刻t=5秒这5秒时间内运动的距离.解:s=v(t)dt=(·k）3·(n→∞)=·k3(n→∞)=［］2(n→∞)=≈156.25(米）.答:该物体在
3、5秒内运动的距离为156.25米.思路分析：v（t）dt指速度为v（t）的运动的物体从时刻a到时刻b所运动过的路程。本题还是用四步法求定积分，简化了解题过程.3.用定积分表示抛物线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成的图形面积.解:解方程组,得交点横坐标为x=0和x=3.作图如下:曲边梯形面积为(x2-2x+3)dx,梯形面积为(x+3)dx,∴阴影部分的面积为:(x+3)dx-(x2-2x+3)dx=(-x2+3x)dx=.思路分析:由图可知所求面积为一个梯形面积与一个曲边梯形面积的差.4.写出图中阴影部分S的计算公式.解:阴影面积为SABED+SBCFE-SACFD,即S=f(x
4、)dx+g(x)dx-φ(x)dx.思路分析:如果欲计算面积的图形不是曲边梯形,那么计算这样图形面积的总体思路是:首先把图形分成几个曲边梯形,然后再计算面积.5.自地面垂直向上发射火箭,火箭的质量为m,试计算将火箭发射到距地面的高度为h时所做的功.解:地球吸引火箭的力为:f(r)=mg,其中m表示火箭的质量,R表示地球的半径,r表示地球中心到火箭的距离.将[R,R+h]分成n等份,得Δri=,ri=R+i.故f(ri)=mg.故火箭用以克服地球引力所做的功为W=f（ri）Δri=mg·=mgR2Δri=mgR2dr=mgR2（-）.思路分析:发射火箭需加外力,它必须克服地球的引力,用以克
5、服地球引力的外力与地球引力大小相等,因此被积函数就是地球对物体的引力,问题得解.6.利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积.(1)y=0,y=,x=2;(2)y=x-2,x=y2.解：(1)曲线所围成的区域如图1所示:设此面积为S,则S=（-0）dx=dx.(2)曲线围成的平面区域如图2所示:S=A1+A2,A1由y=,y=-,x=1围成;A2由y=x,y=x-2,x=1和x=4围成.∴A1=［-（-)］dx,A2=［-（x-2）］dx，∴S=2dx+（-x+2）dx.图1图2思路分析：用定积分计算平面区域的面积,首先要确定已知曲线所围成的区域,由区域的形状选择积分函数,
6、再确定积分上、下限,当计算公式S=
7、f（x）-g（x）
8、dx中的f(x)或g(x)是分段函数时,面积要分段计算.综合应用7.若（x-1）dx=-4,求a的值.解：由（x-1）dx=xdx-dx=0-2a=-2a=-4,∴a=2.思路分析：利用定积分的性质、几何意义是关键.8.用定积分的几何意义求dx(b＞a)的值.解:dx表示f(x)=,x=a,x=b,y=0所围成图形的面积.由y=得y2+(x-)2=()2(y≥0).故f(x)=表示的曲线是半圆.故所求面积为圆心在(,0),半径r=的上半圆的面积π·()2·=.综上所述,dx=.思路分析:在平时的训练中,要注意有关公式的正、反运用,本
9、题倒用定积分的几何意义求解,简洁明了.
