3、.1577.答案:0.6826 0.1577 0.15774.灯泡厂生产的白炽灯泡寿命为ξ(单位:小时),已知ξ～N(1000,302),要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率不小于99.7%,应将灯泡的寿命控制在多少小时以上?解析:∵ξ～～N(1000,302),∴ξ在(1000-3×30,1000+3×30),即(910,1090)内取值的概率为0.997,故应将灯泡的寿命控制在910小时以上.5.某中学高考数学成绩近似地服从正态分布N(100,102),求此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比.解
4、析:P(X>120)=1-P(X≤120)=1-［P(80≤X≤120)+P(X<80)］,又P(X>120)=P(X<80),∴P(X>120)=［1-P(80≤X≤120)］=(1-0.9544)=0.0228.∴此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的2.28%.6.设ξ～N(3,22),借助于Φ(x)表示,求(1)P(-2<ξ<7);(2)确定C的值,使得P(ξ>C)=P(ξ≤C).解析:(1)P(-2<ξ<7)=Φ-Φ=Φ(2)-Φ(-2.5)=Φ(2)-［1-Φ(2.5)］=0.9772-
5、［1-0.9938］=0.9710.(2)∵P(ξ>C)=1-P(ξ≤C),又P(ξ>C)=P(ξ≤C),∴P(ξ≤C)=0.5.而P(ξ≤C)=Φ=0.5,查Φ(x)表,得Φ(0)=0.5.故=0,∴C=3.7.随机变量ξ～N(μ,σ2),而且已知P(ξ<0.5)=0.0793,P(ξ>1.5)=0.7611,求μ与σ2.解析:∵ξ～N(μ,σ2),∴P(ξ<0.5)=Φ=0.0793,即1-Φ=0.9207.∴Φ=0.9207,查表得=1.41.又P(ξ>1.5)=1-P(ξ≤1.5)=1-Φ
6、=0.7611,∴Φ=0.7611.查表得=0.71.解方程组,得∴μ=2.515,σ2=2.0449.8.某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走,第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位:分)服从正态分布N(50,102);第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞少,所需时间服从正态分布N(60,42).(1)若只有70分钟可用,问应走哪条路线?(2)若只有65分钟可用,又应走哪条路线?思路分析:最佳路线是在允许的时间内有较大概率及时赶到火车站的那条路线.解:设ξ为行
7、车时间.(1)走第一条路线及时赶到的概率为P(0<ξ≤70)=Φ-Φ≈Φ=Φ(2)=0.9772,走第二条路线及时赶到的概率为P(0<ξ≤70)≈Φ=Φ(2.5)=0.9938,因此在这种情况下应走第二条路线.(2)走第一条路线及时赶到的概率为P(0<ξ≤65)≈Φ=Φ(1.25)=0.9332,走第二条路线及时赶到的概率为P(0<ξ≤65)≈Φ=Φ(1.25)=0.8944,因此在这种情况下应走第一条路线.9.正态总体当μ=0,σ=1时的概率密度函数是f(x)=,x∈R,(1)证明f(x)是偶
8、函数;(2)求f(x)的最大值.思路分析:用定义判定奇偶性,用单调性求最值,用增减性的定义结合指数函数性质判定增减性.解:(1)对于任意的x∈R,f(-x)==f(x).所以f(x)是偶函数.(2)令z=.当x=0时,z=0,=1;当x≠0时,z>0,<1.由于是关于z的减函数,所以当x=0(即z=0)时,取得最大值.所以当x=0时
