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《高中数学 第1章 导数及其应用 1_2_3 简单复合函数的导数知识导航 苏教版选修2-21》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.2.3简单复合函数的导数知识梳理1.一个函数可以写成y=f［φ(x)］,即y=f(u)，u=φ(x)的形式，则称其为_____________.2.函数u=φ(x)在点x处有导数u′x=φ′(x)，函数y=f(u)在点x的_____________u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f［φ(x)］在点x处有导数，即_____________或写成_____________.知识导学要学好本节内容,需弄清几个基本概念,如:复合函数、中间变量,同时对基本公式的记忆要熟,即“熟能生巧”.对复合函
2、数的求导要注意中间变量的选取要适当.另外要搞清每一步是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆.新课标要求能求简单的复合函数〔仅限于形如f(ax+b)〕的导数.疑难突破对于复合函数求导,一定要理清中间的复合关系.本节难点是对复合函数求导.剖析：中间变量应选择简单初等函数,判断一个函数是否是简单初等函数的标准是:存在求导公式则直接求导,弄清各分解函数中应对哪个变量求导,对一个函数的复合关系的分解予以足够的重视,要用换元的思想及基本初等函数的观点来理解复合关系,理解复合函数的概念.典题精讲【例1】求下列函数的导数
3、.(1)y=(2x3-x+)4;(2)y=;(3)y=sin2(2x+);(4)y=x(x-)100.思路分析：选择中间变量是复合函数求导的关键,必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量的式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏.而其中特别要注意中间变量的系数,求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数.解:(1)解法一:设u=2x3-x+,y=u4,则y′x=y′u·u′x=4u3·(6x2
4、-1-)=4(2x3-x+)3(6x2--1).解法二：y′=［(2x3-x+)4］′=4(2x3-x+)3·(2x3-x+)′=4(2x3-x+)3(6x2-1-).(2)解法一：设y′=,u=1-2x2，则y′x=y′u·u′x=()·(-4x)=·(-4x)=.解法二：y′=()′=［］′=·(1-2x2)′=·(-4x)=.(3)解法一：设y=u2,u=sinv,v=2x+,则y′x=y′u·u′v·v′x=2u·cosv·2=2sin(2x+)·cos(2x+)·2=2sin(4x+).解法
5、二：y′=［sin2(2x+)］′=2sin(2x+)·［sin(2x+)］′=2sin(2x+)·cos(2x+)·(2x+)′=2sin(2x+)·cos(2x+)·2=2sin(4x+).(4)解：y′=［x(x-)100］′=x′(x-)100+x［(x-)100］′=(x-)100+x·100(x-)99·(x-)′=(x-)100+x·100(x-)99·(1+).绿色通道：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合
6、关系不准确，不能有效地进行求导运算.复合函数的求导法则，通常称为链条法则.变式训练：求下列函数的导数.(1)y=(2x-1)5;(2)y=;(3)y=.解:(1)设u=2x-1,则y=u5.∴y′x=y′u·u′x=5u4·(2x-1)′=5(2x-1)4·2=10(2x-1)4(2)设u=ax2+bx+c,则y=.∴y′x=y′u·u′x=(3)方法一：u=1-2x,y=u-5,y′x=y′u·u′x=-5u-6·(-2)=10(1-2x)-6.方法二：∵y=,令y=u5,u=,v=1-2x.y′x
7、=y′u·u′v·v′x=5u4·(-v-2)·(-2)=10()4·v-2=100-6=10(1-2x)-6.【例2】已知f(x)=xloga(x2+x-2),求f′(x).思路分析：函数y=loga(x2+x-2)是由y=logau与u=x2+x-2复合而成的,根据复合函数的求导步骤进行求导.解:f′(x)=loga(x2+x-2)+x··logae·(2x+1)=loga(x2+x-2)+.绿色通道：求复合函数的导数，关键要分清此函数是由哪几个初等函数复合而成的，然后根据求复合函数导数的法则进行
8、求导即可.变式训练：已知f(x)=,求f′(x).解：y=logau,u=logax,∴f′(x)=y′u·u′x=·logae·logae=.【例3】求下列函数的导数.(1)y=;(2)y=.思路分析：在公式(logax)′=与(ax)′=ax·lna中，求导后的系数很容易混淆，要注意掌握公式.并通过比较加以记忆.解：(1)y′=+bx·(-2ax+b)=(-2ax+b)·.(2)y′=绿色通道：复合函数求导是一个连锁求导过程，每次选择中间变量都根据问
