高中数学 第一章 导数及其应用 1_2 导数的运算 1_2_3 简单复合函数的导数教学案 苏教版选修2-2

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1、1.2.3简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f(x)＝sin，g(x)＝(3x＋2)2.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题2：试说明g(x)＝(3x＋2)2是如何复合的？提示：函数g(x)＝(3x＋2)2是由g(u)＝u2，u＝3x＋2复合而成的．问题3：试求g(x)＝(3x＋2)2，g(u)＝u2，u＝3x＋2的导数．提示：g′(x)＝[(3x＋2)2]′＝[9x2＋12x＋4]′＝18x＋12.g′(u)＝2u，u′＝3.问题4：观察问题3中导数有何关系？提示：g′(x)＝g′(u)·u′.若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′

2、x＝y′u·a.1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量．2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单．3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．复合函数的求导[例1]　求下列函数的导数．(1)y＝；非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支

3、持。(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝cos(ωx＋φ)(其中ω、φ为常数)；(4)y＝log2(5－3x)．[思路点拨]　先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．[精解详析]　(1)y＝＝(2x＋3)－是函数y＝u－，u＝2x＋3的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(u－)′·(2x＋3)′＝－u－·2＝－3u－＝－3(2x＋3)－.(2)y＝e－0.05x＋1是函数y＝eu，u＝－0.05x＋1的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05eu＝－0.05e－0.05x＋1.(3)y＝cos(ωx＋φ)是y

4、＝cosu，u＝ωx＋φ的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(cosu)′·(ωx＋φ)′＝－sinu·ω＝－ωsin(ωx＋φ)．(4)y＝log2(5－3x)是y＝log2u，u＝5－3x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′·(5－3x)′＝－3·＝＝.[一点通]　对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数f(x)＝ln，则f′(x)＝________.解析：f(x)＝ln是f(u)＝lnu与u＝的复合函数，非

5、常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。所以y′x＝y′u·u′x＝(lnu)′·′＝·＝－.答案：－2．函数y＝sin3x＋sinx3的导数为________．解析：y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′＝3sin2xcosx＋cosx3·3x2＝3sin2xcosx＋3x2·cosx3.答案：3sin2xcosx＋3x2·cosx33．求下列函数的导数：(1)y＝e2x2＋3x；(2)y＝.解：(1)y＝eu，u＝2x2＋3x，所以y′x＝y

6、′u·u′x＝eu·(2x2＋3x)′＝eu·(4x＋3)＝(4x＋3)e2x2＋3x.(2)∵y＝＝(1－3x)－4，∴可设y＝u－4，u＝1－3x，∵y′u＝－4u－5，u′x＝－3，∴y′x＝y′u·u′x＝－4u－5×(－3)＝12(1－3x)－5.求导法则的综合应用[例2]　求下列函数的导数．(1)y＝31－xsin(2x－1)；(2)y＝.[思路点拨]　根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解．[精解详析]　(1)y′＝(31－x)′sin(2x－1)＋31－x·[sin(2x－1)]′＝－31－xln3·sin(2x－1)＋31－x·2cos(2x－1)＝31－x[2cos

7、(2x－1)－sin(2x－1)·ln3]．(2)y′＝非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。＝＝＝.[一点通]　(1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化