高中数学 2_3_1 平面向量基本定理导学案 苏教版必修41

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1、在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求2.3.1　平面向量基本定理学习目标重点难点1．能说出基底的含义，以及正交分解的意义．2．能记住平面向量基本定理.重点：平面向量基本定理的理解与应用．难点：基底的含义，正交分解的意义.1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e

2、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．预习交流1基底中的向量e1，e2可以为零向量吗？提示：不可以．倘若向量e1，e2中有一个向量为零向量，那么两向量必为共线向量，这与基底的定义相矛盾，故基底中的向量e1，e2均不可以为零向量．预习交流2在表示向量时，基底惟一吗？提示：不惟一，同一平面可以有无数组不同的基底．因此，对不同的基底，同一向量的分解是不惟一的，但基底给定时，向量的表示方法惟一．2．平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1，e2所在直线互

3、相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．预习交流3(1)下列说法中，正确的是__________．①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．(2)在正方形ABCD中，以，为基底，则向量可分解为__________．提示：(1)②③　(2)＋一、平面向量基本定理的理解如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ

4、＝0；(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量．思路分析：运用基底概念与平面向量基本定理进行判断．解：(1)正确．若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开展的“不比基础比进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月

5、之星”的评选活动，积极探索素质教育的新途径在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.(2)不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ惟一确定．(3)正确．平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．(4)不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，只有当λ和μ确定后，其和向量λe1＋μe2才惟一确定．e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底

6、的序号是__________．①e1＋e2，e1－e2；②3e1－2e2,4e2－6e1；③e1＋2e2，e2＋2e1；④e2，e1＋e2；⑤2e1－e2，e1－e2.答案：②⑤解析：由题意，知e1，e2不共线，易知②中，4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，即3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴②不能作基底．⑤中2e1－e2＝2，即2e1－e2与e1－e2共线，∴⑤不能作基底．1．对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式．2．向量的基底是指平面内不

7、共线的向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等均不能构成基底．二、用基底表示向量如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，，.思路分析：题目条件显示：四边形ABCD是平行四边形且a，b是基底．依据平行四边形的性质可知点M平分两条对角线，结合向量的平行四边形法则及向量的线性运算可表示待求向量．解：∵四边形ABCD是平行四边形且＝a，＝b，∴＝a＋b，＝b－a.又点M平分两条对角线AC，BD，∴

8、＝(a＋b)，＝－(a＋b)．∴＝＝(b－a)＝－＝－(b－a)．配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开展的“不比基础比进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动，积极探索素质教育的新途径在学生