高中数学 1_3_1 三角函数的周期性导学案 苏教版必修41

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1、在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求1.3.1　三角函数的周期性学习目标重点难点1．记住周期函数与最小正周期的定义．2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.重点：利用周期函数及最小正周期的定义，求正、余弦函数的周期．难点：利用周期函数解决相关问题.1．周期函数的概念(1)周期函数的定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非

2、零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．预习交流1周期函数的定义中，能否把“定义域内的每一个x值”改为“定义域内存在一个x值”？提示：不能．反例：y＝sinx(x∈R)对于x＝，T＝，显然有sin(x＋T)＝sin＝sin＝sinx，但T＝不是它的周期．2．三角函数的周期(1)正弦函数和余

3、弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π；正切函数y＝tanx也是周期函数，且最小正周期是π.(2)一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝.若函数y＝f(x)的周期为T，则函数y＝Af(ωx＋φ)的周期为(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0)．预习交流2所有周期函数都有最小正周期吗？为什么？提示：并不是所有的周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数f(x)＝5，x∈R.当x为定义域内

4、的任何值时，都有f(x)＝C，即对定义域内的每一个x值，f(x)都有f(x＋T)＝C＝f(x)，因此f(x)是周期函数．由于T是不为零的任意常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)＝C没有最小正周期．一、函数周期性的证明已知函数f(x)对任意实数x，都有f(x＋m)＝－f(x)，求证：函数f(x)是周期函数，并且2m是f(x)的一个周期．思路分析：要证函数f(x)是周期函数，就是要找到一个常数T，使得对于任意实数x配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神

5、，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开展的“不比基础比进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动，积极探索素质教育的新途径在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求，都有f(x＋T)＝f(x)，可根据f(x＋m)＝－f(x)推导寻找．证明：∵函数f(x)对任意实数x，都有f(x＋m)＝－f(x)，∴f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]＝－f(x＋m)＝－[－f(x)]＝f(x)．

6、∴函数f(x)是周期函数，并且2m是f(x)的一个周期．若函数y＝f(x)是奇函数，且f(x＋a)＝，求证：2a是f(x)的周期(a≠0)．证明：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，f(x＋a)＝＝－.∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－＝－＝f(x)．∴f(x)是以2a(a≠0)为周期的周期函数．周期函数的证明一般利用周期函数的定义；对抽象函数的周期性证明，要注意利用条件，结合定义进行灵活的转化．对于函数最小正周期的证明，不仅可以用周期函数的定义，而且还可以运用反证法．二、求三角函数

7、的周期求下列函数的周期：(1)y＝3sin；(2)y＝2cos；(3)y＝

8、sinx

9、.思路分析：利用公式法或定义法求解即可．若ω＜0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式．解：(1)T＝＝＝4.(2)y＝2cos＝2cos，∴T＝＝4π.(3)由y＝sinx的周期为2π，可猜想y＝

10、sinx

11、的周期应为π.验证：∵

12、sin(x＋π)

13、＝

14、－sinx

15、＝

16、sinx

17、，∴由周期函数的定义知y＝

18、sinx

19、的周期是π.用定义法求下列函数的周期：(1)y＝cos4x；(2)y＝2sin；(3)y＝tan(ωx＋φ

20、)(ω＞0)．解：(1)设函数f(x)＝cos4x的周期为T.令4x＝μ，由f(x)＝cosμ的周期是2π，知f(μ＋2π)＝cos(μ＋2π)＝cos(4x＋2π)＝cos＝f＝f(μ)＝cos配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开展的“不比基础比进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动，积极探索素质教育的新途径在