线段“a+b”型最小值问题例谈

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1、线段“a+b”型最小值问题例谈　　摘要：几何证明重在训练学生逻辑推理能力，初中数学中线段和差的证明题是中考的难点之一，故在教学中有的放矢的对学生进行针对性训练，显得尤为重要，本文以例为证，总结了一些基本方法。　　关键词：线段和；最小值；例析　　中图分类号：G632文献标识码：B文章编号：1002-7661（2016）17-075-01　　当你徜徉于初中数学浩瀚的题海之中时，方知数学知识的博大精深与广泛应用，做为教者要想让学生面对各种题型，游刃有余，以达触类旁通，举一反三的目的，必须交给学生一些最常规、最基本的解题方法，

2、笔者认为不论题型何等复杂，但都是凭借基本的数学知识点去解决问题的，所以首先要寻找题目中所涉及的知识原型，巧妙地去解决问题。本文以求线段“a+b”型最小值问题例析如下，供同仁参考：　　线段“a+b”型最小值问题大都是“两点之间线段最短”与“轴对称”两个知识点的具体运用，解决这类问题的基本方法是：套用轴对称的性质将“a+b”的值转化为一条线段的长度，再利用“两点之间线段最短”去推理论证。　　例题一：如图，一头牛在A点处吃草到中午，便要去河L饮水，饮水后再回牛圈点B处休息，请问：牛到河L中哪一点去饮水，使牛走过的路程最短。4

3、　　分析：用数学的眼光看，河L就如同一条直线，本题旨在在直线L上寻找一点P，使PA+PB的值最小。因为牛的始点为A，终点为B，且必经过直线L上一点。要达到牛所走的路程最短，根据“两点之间线段最短”可知，只要构建成“PA+PB=线段”的形式，便可将此问题迎刃而解。　　方法是：利用轴对称知识将问题进行转化，作A点关于直线L的对称点C，连接BC交直线L于P点，则线段BC就是所求的线段。　　证明如下：　　∵A与C关于直线L对称　　∴线段AC被直线L垂直平分　　∴PA=PC　　∴PA+PB=CB　　根据两点之间线段最短便知牛到P

4、点去饮水时所走的路程AP+PB最短。　　例题二：如图，边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60。，点E是AB的中点，点P是对角线AC上的一个动点，求PE+PB的最小值。　　分析：抛开动点P看定点B和E，因为动点P在AC上，故以AC所在的直线为对称轴，在图上寻找定点B和E两点中那一个点存在关于直线AC的对称点，根据菱形的性质不难发现B和D恰好关于直线AC对称。　　方法：如下图，连接DE交AC于P点，再连接BP，则DE=PE+PB，即就是PE+PB的最小值便是线段DE的长度。　　证明：连接DE交AC于P点　　∵B与D关于直

5、线AC对称4　　∴线段BD被直线AC垂直平分　　∴BP=DP　　∴PE+PB=DE　　根据两点之间线段最短，可得PE+PB的最小值就是线段DE的长度　　∵四边形ABCD是菱形　　∴AB=AD=2　　∵∠BAD=60。　　∴?SABD是等边三角形　　∵点E是AB的中点　　∴DE⊥AB　　∴AE=1　　根据勾股定理可得　　DE=√3　　∴PE+PB最小值为√3　　例题三：在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是多少？　　分析：抛开动点P看定点B和E，因为动点P在A

6、C上，所以以AC所在的直线为对称轴，在图上寻找定点B和E两点中那一个点存在关于直线AC的对称点，根据正方形的性质不难发现B和D恰好关于直线AC对称。　　方法：连接DE交AC于P点，再连接BP，则DE=PB+PE，即就是PB+PE的最小值便是线段DE的长度。　　证明：连接DE交AC于P点，连接BP4　　∵B与D关于直线AC对称　　∴线段BD被直线AC垂直平分　　∴BP=DP　　∴PB+PE=DE　　根据两点之间线段最短，可得PB+PE的最小值就是线段DE的长度　　∵四边形ABCD是正方形　　∴∠BAD=90。AB=AD　

7、　∵BE=2，AE=3BE　　∴AE=6AD=AB=8　　∴在Rt?SEAD中根据勾股定理可得DE=10　　∴PB+PE的最小值便是10　　参考文献：　　[1]张蓓蓓.线段最值问题解法探究[J].中学生数理化（尝试创新版），2014（06）：133-134.4