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《线段、线段和最小值问题探讨 - 论文大赛.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2011-2012论文线段、线段和最小值问题探讨福建省三明市宁化城东中学戴美华线段、线段和最小值问题在实际生活屮具有广泛的运用，也是几何公理在实际生活中应用的一个很好的典范。因此，线段、线段和最小值的知识经常作为中考的常见考点在备地屮考试卷中频繁出现。木文结合平时的教学积累，对这一问题作粗浅的探讨。一、线段、线段和最小值存在的几何理论及基本模型:线段的最小值的理论依据是：冑线外一点和右•线上务点的所有线段屮，垂线段最短。线段和最小值的理论依据是：两点的所有连线屮，线段最短（简单说成：两点Z间，线段最短）。图1图
2、2.如图1,AB+BC可以看作是连接点A、点CZ间的一条折线，所以有AB+BOAC.如图2,只有PC丄/，则有PA>PC,PB>PC,PDAPC°以上为讨论线段最小值，线段和最小值的理论依据及出发点，在明确了其理论依据以后，我们解题就有了明确的方向,可以建立相应的数学模型进行解题。对于线段和最小值问题，其经典的数学模型就是“牛饮水问题”，如图3,作出点A关于直线/（河流）的对称点/T,连接川8交直线/于点P,则沿着为最短的路程。理由是：在直线/上取一异于点P的任意点则有P'A+PB=P'A'+P'B，而P,A,
3、+P,B>A'B=PA+PB9所以点P就是使得牛的路稈报短的饮水点。Af二、线段.线段和最小值问题的一般处理方法和技巧：有关线段最小值问题，通常转化为垂线段最短问题，有关线段和最小值问题通常转化为“牛饮水”问题，建立相应的数学模型进行解题。下面就结合平时的教学积累，对以上两个问题举例进行说明它们的…般处理方法和技巧。（一）线段最短问题的一般处理方法和技巧：比如有这样一道题：如图5,在ZiABC屮，AB=6cm,AC=8cm,BC=1Ocm，点D为边BC上的一个动点，DE丄AB,DF丄AC,点M为AD的中点，试求
4、MF的最小值。图5图6我们知道，MF的大小会随肴点D的位置变化而变化，而MF为一条线段，对于线段的最小值探讨，我们往往转化为垂线段问题。据己知条件，容易得到AAFC为直角三角形，则不管点D在什么位置，四边形AEDF都是一个矩形，所以始终有MF=1aD。这样，我们探讨的2MF的最小值问题就转化为求线段AD的最小值问题，而线段AD要最小，贝U当且仅当AD1BC时,线段AD最短（垂线段最短）。所以求出此时AD的长度，取一半即可。所以,如图6,当AD丄BC时，AD最短。通过这一问题的解决，我们发现，其关键Z处在于构建好
5、垂线段最短这一几何模型，并以此解题。又如这样一道题：貞角梯形ABCD屮，AD//BC,ZC=90°,BC=CD=4,/XABE为等边三角形，H为BC屮点、。（1）求证AE丄BD；（2）M为上的动点，N为BE上的动点，MN+ME的最小值。c对于第（1）小题，我们可以过点B作BF丄DA,并交DA的延长线于点F。则根据HL可以证明RtABCE^RtABFA,AZEBC=ZABF,AZEBD=ZABD,又VAABE为等边三角形，・・・BD丄AE。而第（2）小题就是我们要重点探讨的利用垂线段最短的知识来解决的线段和最短问
6、题。如图9,点M、点N都是动点，要确定其和的报小值，我们通常都要进行转化，使得ME和MN在同一直线上（两点Z间，线段战短），由第（1）小题的结论可知，BD是ZABE的平分线，所以到角两边的距离会相等，综合以上知识，我们可以确定点M、点N的位置如图10所示时，其和为最小值。因为MN丄BE,MN^丄AB,所以ME+MN=ME+MN‘=EN',而根据垂线段最短可知，EN'的长就是MN+ME的最小值。（二）线段和最小值问题的一般处理方法及技巧：1、两线段和报小值问题的处理方法及技巧：两线段和最小值问题，是此类最值讨论最
7、基础、最简单的一种，其数学模型就是前面阐述的“牛饮水”问题。其关键Z处就是要能利用特殊图形的性质，巧妙的找出有关的对称点来，从而迅速地解题。我们来看以下两例：（1）如图11,正方形ABCD的边长为2,E为4D的屮点，尸是AC上一动点。则PD+PE的报小值是;我们由正方形的性质可知，点D关于AC的对称点为点B,则PD+PE=PB+PE=BE。所以,其值为^AB2+AE2=V22+l2=V5o（2）如图13,E为边长为1的正方形ABCD内一点，AABE为等边△,P为对角线AC±的一动点，求PD+PE的最小值。根据正
8、方形的对称性，易得点D关于AC的对称点为点B,则当点P为如图14位置时，有最小值。显然，此时PD+PE=PB+PE=BE,也就是等边三角形的边长（或正方形的边长）为1。2、三线段（或以上）和最小值问题的处理方法及技巧：三条线段的和最小值问题，实质也是利用两点Z间线段最短这一数学原理，其关键Z处就在于如何把三条线段转化在同一直线上，下血就结合具体例题来阐述这种建模思想。（1）如图15,点
