线段和的最小值问题

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1、课题《线段和的最小值问题》学科初中数学授课班级九年级一班授课时数1设计者秦书杰所属学校新密市西大街办事处初级中学本节（课）教学内容分析最短距离问题是初中数学的重要内容之一，也是中考命题的重点之一。求两线段之和最小值常用到轴对称及线段的性质，而菱形、矩形、正方形、圆这些特殊的图形都是轴对称图形，所以在这些图形中常会考察最短距离。学情分析学生了解两点之间线段最短，菱形、矩形、正方形、圆这些特殊的图形的轴对称性等基本知识点，并且九年级的学生具有一定的作图能力、读图能力，但对知识的转化及化归能力，创造适合的条件去解决问题的能力有待提高。本节（课）教学目标知识和技能

2、：1、灵活掌握定理“两点之间线段最短”、“垂线段最短”和“轴对称的性质”.2、体会转化思想在做题中的应用，即化复杂问题为简单问题，化抽象问题为具体问题.过程和方法：    学生通过观察图形，猜测并小组讨论探究的过程，解决解决一些最短距离问题，并体验化归的思想方法。情感态度和价值观：让学生在探究活动中培养合作精神，通过知识迁移化归解决问题获取成功的体验。教学重点和难点项    目内       容教学重点1、  能利用轴对称及线段的性质解决两线段之和最小的问题。2、  利用图形变换能解决一些最短距离问题。教学难点1、能利用轴对称及线段的性质解决两线段之和最小

3、的问题。2、体验化归的数学思想方法课堂教学过程结构设计教学环节教学过程设计意图 一、 复习旧知，温故知新    教师通过PPT展示问题串，学生回忆思考并回答。 教材中哪些结论与线段长度最短有关？一、两点之间，线段最短。二、连接直线外一点和直线上所有点的线段中，垂线段最短。教师利用PPT展示将军饮马问题，学生独立思考并画图，一名学生板演，集体总结作图的一般步骤。 始终在学生知识的最近发展区设置问题，以问题串的形式复习旧知，为后面的解题做铺垫。  二、 创设情境，引入新课    三、 合作交流，探究新知      如图，要在街道L上修建一个奶站，分别向居民区A

4、，B供奶，奶站P建在街道的什么位置，可使A,B到奶站P的距离之和最短（即PA+PB的和最小)？ 教师通过PPT展示问题1，学生独立思考回答后，教师利用几何画板画出A、B、C、D四点，并连接，学生根据显示的图形观察、猜想、证明。探究一：在四边形中探求线段和的最小值1、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 _____________．2、在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则BP+PQ的最小值为 ______

5、___  cm．△PBQ周长的最小值为________  cm．（结果不取近似值）．  四、 变式训练，巩固提高               1、 教师展示问题，问题（1）、（2）学生独立思考后，小组讨论交流，并展示结果  探究二：在圆背景下探求线段和的最小值如图，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上,AD=2CD，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是如图，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上,AD=2CD，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是_______. 

6、2、教师提问，学生独立思考并回答。  探究三：在三角形背景下探求线段和的最小值在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为 _____ 。  激发学生的学习兴趣和求知欲，使学生亲身感知两点之间线段最短的简单应用。    五、反思与小结   八、布置作业教师引导学生总结同桌相互交流一下本节课你有哪些收获？（可从知识、解题方法和数学思想上谈起） 中考链接：如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式

7、；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．达标检测：1、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC称．连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值等于线段_____的长度，最小值等于_________；2、如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P线段EF上一个动点，连接BP、GP，则（1）PB+PG的最小值是_______.        （2）△BPG周长的最小值是 _______.     学生在求

8、对称点的过程中再次唤醒学生对轴对称性质的认识，并通过判断四边形AB