例谈求最小值的问题

《例谈求最小值的问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、例谈求最小值的问题：从不同的角度利用不同的方法求最小值，灵活的运用不同的方法会迎刃而解有关求最小值问题。同时会用到数形结合的数学思想，培养学生解决问题的综合能力。　　关键词：最小值；数形结合。　　：G633.6：A：1002-7661（2011）11-183-01　　　　　　在平面几何中，将几何问题转化成代数的方法去解决，如果应用恰当，往往能取得事半功倍的效果。同样，在代数中，将代数问题转化为几何的方法去解决，容易理解。对于具体的问题，如何找到解决问题的切入点，这是我们解决此类问题的关键，也是我们感

2、到最困难的问题。只要我们能充分地挖掘已知条件及蕴含在题目中的隐含条件，充分利用已学的定理和性质，找出题中条件的内在联系，那么问题就迎刃而解。常见求最小值的几种方法，如：用对称法解决最小值问题;用构图法解决最小值问题;用二次函数法解决最小值问题;用公式法解决最小值问题;用图象法解决最小值问题。下面就其中二种求最小值问题举例说明。　　1、用对称法解决最小值问题　　例1（08江苏南通）如图1，四边形ABCD中，AD=CD，，过点D作，垂足为，DE与AB相交于点E．　　⑴求证：；　　⑵已知AB=15cm，B

3、C=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=Xcm(x>0)，四边形BCDP的面积为．　　①求y关于x的函数关系式；　　②当x为何值时，的周长最小，并求出此时y的值．　　分析：⑴略；　　⑵①略；②求的周长最小，也就是求的最小值。如果没有弄清题目的思路，容易想到采用代数的方法，即用X表示PB,PC，想法是好的，但表示不容易。其中是已知条件，可以转化为求的最小值问题。　　因为AD=CD，，所以DE垂直平分AC，即点A与C关于直线DE对称。根据轴对称性质知，PC=PA，所PCPB=PAPB，根据两点之间线段

4、最短知，点P与点E重合。由∽知，DF=8。由，点F是AC的中点得，，所以．即。当时，的周长最小，此时。　　从上述的例子可以发现：对于求两条线段或三条线段和的最小值，不能采用代数的手法，而应采用几何中对称的方法解决。这类问题的特征：求两个定点到一条直线上一动点距离之和的最小值问题，作其中一个定点的对称点，连接对称点与另一个定点构成的线段就是所求的最小值。主要抓住两点之间线段最短。　　2、用图象法解决最小值问题　　　　例2阅读以下材料：对于2个数、，用表示a、b这2个数的平均数，用表示、这2个数中的最大

5、的数。例如：；。　　解决下列问题：　　⑴填空：__________；　　⑵如果，则__________；　　⑶如果，那么________（填、的大小关系），并证明这个结论；　　⑷如图，在同一直角坐标系中作出函数，的图象（不需列表描点）。通过图象观察，可得：的最小值为_________。　　分析：⑴、⑵、⑶略；　　⑷首先理解条件：的最小值，两个函数和中最大的函数的最小值。当和x=2时，，当时，，此时的最小值是；当时，，此时的最小值是-1；当时，，此时的最小值是2；综上可知最小值是-1。　　从上述例子可

6、以发现：此题的关键之处就是要充分的理解条件：的最小值。本题采用的方法与前面的方法都不同，也学生不容易想到，采用函数图象的方法进行解决。　　综上所述，我们遇到求最小值问题时，要善于分析已知条件，要判别到底是几何问题还是代数问题，能够灵活的运用上述的几种方法进行解决问题。要善于运用数学中非常重要的数形结合数学思想，这样复杂的问题也会变得简单，遇到问题也就自然想到这些方法，从而得心应手的解决问题。