利用稳定性解决现实问题

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1、利用稳定性解决现实问题　　[摘要]常微分方程的平衡点及稳定性在现实中的应用非常广泛，但是如何正确使用这个理论来解决实际问题是有一定难度的.本文主要探索的是稳定性理论服务于军事方面的应用问题，通过具体实例的分析，展示稳定性理论的实用性.　　[关键词]常微分方程稳定性理论应用数学模型　　引言　　在数学学科中，稳定性理论是常微分方程中重要的组成部分，一个系统的干扰性因素总是不可避免的，因此稳定性的研究有很重要的理论意义和实用价值，这也是稳定性理论蓬勃发展的原因.平衡点的稳定性特征一般由lyapunov理论确定，lyapunov（李雅普诺夫）是俄国的数学家和工程师，他建立了稳

2、定性的基础理论，本文主要讨论稳定性在军事方面的应用.　　一、稳定性理论在军事方面的应用　　两个国家或国家集团之间由于相互不信任和各种矛盾的存在、发展而不断增加自己的军事力量，防御对方可能发动的战争.现在讨论L.F.Richardson1939年提出的一个模型.　　为了方便起见，用军备表示军事力量的总和，如兵力、装备、军事预算等.甲乙双方在时刻t的军备分别记作x（t）和y（t），假设它们的变化只取决于下面3个因素：5　　1.由于相互不信任及矛盾的发展，一方军备越大，另一方军备增加得越快；　　2.由于各方本身经济实力的限制，任一方军备越大，对军备增长的制约作用越大；　　3

3、.由于相互敌视或领土争端，每一方都存在着增加军备的固有潜力.　　进一步假定前两个因素的影响是线性的，第3个因素的影响是常数，那么x（t）和y（t）的变化过程可用微分方程组　　（1）　　表示，其中的系数均大于或等于零.k，l是对方军备刺激程度的度量；a，β是己方经济实力制约程度的度量；g，h是己方军备竞赛的固有潜力.　　如果我们感兴趣的是军备竞赛的结局由什么因素决定，而不关心竞赛的过程，那么只需用微分方程稳定性理论讨论时间充分长以后x（t），y（t）的变化趋势，即方程（1）的平衡点的稳定情况.　　令（1）式右端等于零，容易算出平衡点　　为　　（2）　　方程（1）的系数矩

4、阵为　　于是按照判断平衡点稳定性的方法计算　　（3）　　（4）　　由稳定性准则，当　　（5）5　　时，平衡点（x0，y0）是稳定的；反之，是不稳定的.　　这就是说，在（5）式的条件下，时间足够长以后双方的军备将分别趋向一个有限值，军备竞赛是稳定的.　　模型的定性解释　　根据方程（1）和平衡点稳定性的分析，可以解释几个简单而又重要的现象.　　1.条件（5）表明，当双方的经济制约程度βα大于双方的军备刺激程度kb时，军备竞赛才会趋向稳定.反之，（x（t），y（t））将趋向无穷，竞赛无限地进行下去，可能导致战争.　　2.由（2）式，如果g=h=o，则x0=0，y0=0是方程

5、（1）的平衡点，并且在条件（5）下它是稳定的.于是如果在某个时候t0有x（t0）=y（t0）=0，x，y就永远保持为零.这种情况可以解释为双方不存在任何敌视和争端，通过裁军可以达到持久和平.两个友好的邻国正是这样.　　3.如果g，h≠0即使由于某种原因（如裁军协定）在某个时候双方军备大减，不妨设x（t0）=y（t0）=0，那么因为x`=g，y`=h也将使双方重整军备.这说明未经和解的裁军（即不消除敌视或领土争端）是不会持久的.　　4.如果由于某种原因（如战败或协议）在某个时候一方的军备大减，不妨设x（t0）=0，那么因为x`=ky+g也将使该方重整军备.这说明存在不信

6、任（k≠0）或固有争端（g≠0）的单方面裁军也不会持久.　　模型参数的估计　　为了利用（5）式判断军备竞赛是否会趋于稳定，需要估计α，β5，k，l的数值.，下面提出的一种方法.　　1.k，l估计　　设x（0）=0，当t较小时，忽略g和-αx的作用，并近似地假定y=y1不变，由方程（1）得　　x`=ky1（x→ky1t）（6）　　如果当t=τ时x=y1，则由（6）式得到　　k-1=τ（7）　　这说明k-1是甲方军备从0到赶上乙方军备y1所需的时间.　　例如德国从1933年开始重整军备，只用了约3年的时间就赶上了它的邻国.假设它增加军备的固有潜力g被制约效应ax所抵消，那

7、么可以认为德国的k-1　　≈3年，即k≈0.3.　　l可以类似地估计，或者合理地假定它与国家的经济实力成正比.这样若乙国的经济实力是德国的2倍，则可以估计l≈0.6.　　2.α，β的估计　　设g=0，y=0，由方程（1）可得　　x（t）=x（0）e-at　　以t=a-1代人算出　　这表示a-1是在乙方无军备时甲方军备减少到原来的1/e所需的时间.当t=5时，a≈0.2.　　二、结束语5　　本文主要研究了常微分方程的平衡点稳定性问题，常微分方程的平衡点及稳定性在实际生活中的应用十分广泛，通过本文的讨论，加深了数学在实际中应用的认识，对加强利用常微分方程