倾听有收获沿途真精彩

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1、倾听有收获沿途真精彩　　最近笔者在高三数学复习中与学生一起处理了一道经典老题，在教学中多次出现教学意外，笔者及时调整教学策略，重构课堂动态生成.期间师生多次经历了“行到水穷处”的窘境，“坐看云起时”的愉悦，演绎了一幕幕令大家流连忘返的精彩瞬间.　　1题目及标准答案　　题目设a≥1，若对于x∈[1，2]，不等式x

2、x-a

3、+32≥a恒成立，求实数a的取值范围.　　解把不等式变形为

4、x-a

5、≥a-32x，对不等式右边进行如下分类讨论：　　⑴当a-32≤0时，不等式恒成立，结合a≥1，故1≤a≤32；　　⑵当a>32时，原问题等价于x-a≥a-32x或x-a≤-a-

6、32x对x∈[1，2]恒成立，分离变量后转化为求函数的最值，即a≤x2+32x+1对x∈[1，2]恒成立或a≥x2-32x-1（当x=1时，a∈R）对x∈（1，2]恒成立，解得1≤a≤54或a≥52，结合a>32，故a≥52.　　综合可知1≤a≤32或a≥52.　　2学生的意外　　2.1学生1的意外困惑　　标准答案虽然清晰明了，但我觉得有点画蛇添足，因为

7、x

8、>ax>a或xa或x<-a与

9、x

10、　　2.2学生2的意外错误　　我采用“正难则反”的策略.原命题的否定是x∈8[1，2]，不等式x

11、x-a

12、+32　　2.3学生3的意外想法　　虽然标准答案及学生1、学生2

13、的解法都是容易想到的通性通法，但过程繁冗，根据解题经验我猜想此题还可以用数形结合法，但没有找到合适的切入点.　　3教师的困惑　　3.1发现学生1的隐情　　师生一起仔细核对了学生1的运算，发现运算无误.教师在迷茫之际，学生1的提示“把a=32代入不等式验证知道此方法是错误的”令笔者茅塞顿开：能不能采用“特殊探路，巧解一般”的策略发现“隐情”？把a=32代入a≤x2+32x+1，解得32≤x≤2，把a=32代入a≥x2-32x-1，解得1

14、x-a

15、≥a-32x对x∈[1，

16、2]恒成立单独分割成两个不等式恒成立是错误的，还应包括两个不等式a≤x2+32x+1与a≥x2-32x-1解集的并集为（1，2]的情况.　　3.2挖掘学生2的蹊跷　　通过与学生讨论、交流、研讨后，教师的思维逐渐明朗，只所以出现错误的答案，是因为不等式组x2+32x+1　　3.3探索学生3的猜想　　在备课时，教师仅仅囿于成见标准答案，没有多想能否运用其他方法，当学生3提出此猜想时，笔者心里有些内疚与不安！俗话说“解铃还须系铃人.”教师只好把问题顺势交给学生，和学生一起多方尝试，共同探索.在聆听学生的想法与意见后，教师思路峰回路转：只要把不等式x

17、x-a

18、+328

19、≥a变形为x

20、x-a

21、≥a-32，再结合f（x）=x

22、x-a

23、，x∈[1，2]的图像，求出f（x）的最小值即可.　　4教师的解惑　　4.1解惑学生1的困惑　　教师：不等式

24、x-a

25、≥a-32x对x∈[1，2]恒成立是否只等价于x-a≥a-32x对x∈[1，2]恒成立或x-a≤-a-32x对x∈[1，2]恒成立？若不是，能否举个反例？　　学生1：当a=32时，x-a≥a-32x的解集为[32，2]，x-a≤-a-32x的解集为[1，32]，两者的并集恰好为[1，2].所以我的解法漏掉了两个不等式解集的并集为[1，2]的情况.　　教师：那如何进行补救呢？　　学生1

26、：（学生1在师生的“友情提示”下给出如下的补救措施）原问题等价于若x∈[1，2]且x≥a时，不等式x2-ax+32-a≥0恒成立或若x∈[1，2]且x≤a时，不等式x2-ax+a-32≤0恒成立.　　4.2解惑学生2的蹊跷　　教师：学生2的思路完全正确，只是在运用（x2+32x+1）min　　学生4：不能在区间[1，2]求它们的最值.　　教师：为什么呢？　　学生4：因为不等式组必须在x2+32x+1

27、节知，　　叶澜教授说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程.”在教学中教师在关注学生数学学习的过程、结果、理解问题的深刻程度、情感态度的变化等时要学会打破教学预设，不要一味地被教学进度或课前预设牵着走.对于回答正确的学生及时给予恰如其分的鼓励和表扬，通过比较不同方法的优劣，展示成果，让学生产生成功的愉悦；对于回答错误或不完整的学生，不要批评，更不要责难，要俯下身子耐心地倾听学生的想法，细心体会他们的思维过程与方向，并给学生以恰到好处的提示与引导，帮助他们回到正确的思维轨道；对于学生

28、的“意外”提问、“意外”困惑，教师不要