von neumann熵基本性质简述

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1、vonNeumann熵基本性质简述　　摘要：熵是信息论中一个十分重要的概念，能够用于刻画信源的平均信息量。但和经典信息论中的香农熵不一样，量子信息中信源的不确定性需要使用vonNeumann熵来进行刻画。同时，vonNeumann熵在纠缠判别、纠缠度刻画等方面也具有十分重要的地位。因此，我们希望通过本文对vonNeumann熵的性质进行介绍，能够帮助研究生更好地掌握该概念。　　关键词：量子信息;vonNeumann熵;信息论　　中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2016）43-0279-02　　一、定义　

2、　设一个量子系统的状态由密度算子　　=pi

3、ψ〉〈ψ

4、（1）　　其中，pi≥0，pi=1，

5、ψ〉是系统空间内的纯态。但此处需要注意的是不同的

6、ψ〉不一定相互正交。因此，可以定义这个系统的vonNeumann熵为　　S（ρ）=-trρlogρ（2）　　如果不同的

7、ψ〉互相正交（不失一般性可以假设其已经归一化），那么vonNeumann熵可以写为　　S（ρ）=-〈ψm

8、ρlogρ

9、ψm〉（3）　　对方程（3）进一步的推导后可以得到如下的表达式5　　S（ρ）=-〈ψm

10、pi

11、ψiδin〈ψn

12、logpj

13、ψj〉δjm　　=-〈ψm

14、pn

15、ψn〉

16、〈ψn

17、logpm

18、ψm〉　　=-pmlogpm（4）　　其中pm为密度算子的本征值。　　从vonNeumann熵的定义可以看出，其和经典信息论中的香农熵具有相类似的含义，能够用于定量分析信源的平均信息量，是忠实传送信源编码态所需要的最小信道量子位数目。同时，从公式（4）可以看出，当量子态处于完全混合态时（此时

19、ψi〉互相正交），vonNeumann熵退化为香农熵。　　二、基本性质　　1.非负性。　　S（ρ）=-trρlogρ≥0（5）　　其中，当且仅当量子系统处于纯态时等号成立。该性质十分明显，而且证明过程十分简单，在此就不进行证明。讲

20、解时可以作为练习让学生自己推导。　　2.vonNeumann熵在幺正变换下不变，即　　S（UPU-1）=S（ρ）（6）　　3.如果量子系统ρ存在M个非零的本征值，那么　　有S（ρ）≤logM（7）　　当且仅当所有非零本征值都相等时等号成立。　　4.对于复合系统AB而言，如何系统处于纯态，那么必然有S（A）=S（B）（8）5　　该性质是vonNeumann熵一个比较重要的性质，下面我们对其进行简单的证明。对于复合纯态系统AB而言，其状态波函数可以进行Schmitt分解，即其波函数可以写为

21、ψAB〉=

22、φ〉

23、φ〉，那么可以有　　S（ρA）=S

24、[TrB（

25、ψAB〉〈ψAB

26、）]=-PilogPi　　S（ρB）=S[TrA（

27、ψAB〉〈ψAB

28、）]=-PilogPi（9）　　因此可以得证。　　5.假设量子体系的密度矩阵可以写为　　ρ=ipiρi，并且pi处于相互正交子空间，那么有　　S（piρi）=H（pi）+piS（ρi）（10）　　证明：假设λ和

29、e〉是密度算子ρi的本征值和相应的本征矢量。注意到piλ和

30、e〉是piρi的本征值和本征矢，因此　　S（piρi）=-piλlog（piλ）　　=-pilogpi-piλlogλ　　=H（pi）+piS（ρi）　　得证。　　上面的性

31、质（5）是vonNeumann熵一个十分重要的性质，需要帮助学生理解清楚，并要求学生能够进行证明。同时，由该性质，我们可以推导出下面的结论，即假设ρi是系统A的密度算子集合，

32、i〉是系统B的正交态，那么有S（piρi？茚

33、i〉〈i

34、）=H（pi）+piS（ρi）。这个推理可以用于正交复合系统熵的计算。　　6.三角不等式。设ρAB是不同的量子系统A和B中的一个状态，那么两个系统中的联合熵满足不等式5　　S（A，B）≤S（A）+S（B）S（A，B）≥

35、S（A）-S（B）

36、（12）　　第一个方程当A和B系统不存在关联时等号成立，第二个方程的等号

37、成立没有简单的关系式。三角不等式是vonNeumann熵中另一个重要的性质，在判断不同系统熵大小时具有广泛的应用。　　三、小结　　上面我们从定义和基本性质两个方面对vonNeumann熵进行了介绍，这些概念和性质是学习vonNeumann熵时必须掌握的基本性质，对于后面量子信息基本理论的学习具有十分重要的基础作用。因此在授课时对于比较复杂的证明过程一定要让学生自己动手推导，这样才能够更好地掌握这些基本性质，这对于后面的学习十分重要。　　BasicConceptofvonNeumannEntropy　　SUNShi-hai　　（Colleg

38、eofScience，NationalUniversityofDefenseTechnology，Changsha，Hunan410073，China）　　Abstract：Entropyis