高中数学知识要点重温之(26)数学归纳法

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1、数学归纳法、极限江苏郑邦锁1．数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n的命题对于从正自然数n0开始的所有正自然数n都成立”的问题。2．能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出f(k)与f(k+1)之间的关系，这往往是运用数学归纳法的最关键的一步。[举例1]已知，则=A．+，B．++，C．-D．+-解析：是从n+1开始的n个连续自然数的倒数和，故是从n+2开始的n+1个连续自然数的倒数和，即===++-=+-故选D。[举例2]用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+1－2k+1变形为[解析]假设n=k时命题成立.即:5k－2k被

2、3整除.当n=k+1时，5k+1－2k+1=5×5k－2×2k=5(5k－2k)＋5×2k－2×2k=5(5k－2k)＋3×2k[巩固1]用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。A.2B.2－1C.2D.2＋1[巩固2]用数学归纳法证明命题：(n＋1)×(n＋2)×…×(n＋n)=2n×1×3×…×(2n－1)3．数学归纳法公理：如果关于自然数n的一个命题p(n)满足下列条件(1)p(n0)成立,即当n=n0时,命题成立，(2)假设p(k)成立,则p(k+1)也成立；根据(1)(2)知命题p

3、(n)对n≥n0的所有自然数n都成立。用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程，（1）是递推的基础，（2）是递推的条件；二者缺一不可。4．数学归纳法通常用于证明关于自然数n的等式、不等式、整除性等。用“归纳假设”即命题p(k)成立证明命题p(k+1)成立（已知p(k)成立，求证p(k+1)成立）是数学归纳法证明中最关键的一步；而明晰命题p(k)与命题p(k+1)之间的关系又是实现这一步的前提。[举例1]已知为正整数，用数学归纳法证明：当时，；解析：视为关于的不等式，为参数，以下用数学归纳法证明：（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（

4、ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，，，于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．[举例2]设正整数数列满足：，且对于任何，有；（1）求，；（2）求数列的通项．（07高考江西理22）解析：（1）据条件得①当时，由，即有，解得．因为为正整数，故．当时，由，解得，所以．（2）由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由①得因为时，，所以．，所以．又，所以．故，即时，成立．由1，2知，对任意，．[巩固1]已知数列，，…，，…；S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S，并用数学归纳法证

5、明。[巩固2]已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：（07高考重庆理21）5．若存在，则=，若==0，则一般“约分”（约去含的因式）后再求极限。若=A、=B，则[±]=A±B,[]=AB,=(B≠0).[举例].（07高考陕西理13）解析：==，∴=[巩固1]下列四个命题中，不正确的是（）A．若函数在处连续，则B．函数的不连续点是和C．若函数，满足，则D．（07高考湖南理7）[巩固2]________6．若

6、

7、<1,则=0；=1，则=1；若>1或≤-1,则不存在。=(为常数)；“”型的式子极限为0；“”型、“”型的极限

8、不存在；“”型和“”型，一般分子、分母“同除以”一个式子（包括“约分”）后再求极限；含有根式的和（差）的式子一般有理化后再求极限。若=A、=B，则(±)=A±B,()=AB,=(B≠0).[举例1]若.解析：分母有理化[举例2]已知和是两个不相等的正整数，且，则（）A．0B．1C．D．（07高考湖北理5）解析：===，选C。[巩固1]把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（）A．B．C．D．2[巩固2].等于()A.1B.C.D.0[迁移]设正数满足，则（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（07高考重庆理8）7．无穷数列{}的前n项和为Sn，称为数列{}的无穷多项和或所有项和。求时，切不

9、可分别求各项的极限后再求和；必须先求Sn，再求极限。若{}为等比数列，公比为q且

10、q

11、<1，则=。[举例1]若数列满足:,且对任意正整数都有,则（07高考湖南理2）A．B．C．D．P1P2Pn-1Q1Q2Qn-1Pn-2O解析：数列满足:,且对任意正整数都有，，∴数列是首项为，公比为的等比数列。，选A.[巩固2]如图，抛物线与轴的正半轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，从而得到个直角三角形．当时，这些三角形的面积之