资源描述：
《高中数学知识要点重温之双曲线及其性质.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2011届高三数学精品复习之双曲线及其性质1．方程表示双曲线<0，双曲线的焦点位置取决于,的正负：若>0,<0，双曲线的标准方程是：，a2=,b2=-,焦点在x轴上；若<0,>0，双曲线的标准方程是：，a2=,b2=-，焦点在y轴上。[举例]已知是常数，若双曲线的焦距与的取值无关，则的取值范围是：（）A．-2<≤2B．>5C．-2<≤0D．0≤<2解析：方程表示双曲线(-5)(2-
2、
3、)<0-2<≤0或0<<2或>5；当-2<≤0时，方程为：，a2=2+，b2=5-，则c2=7与无关；当0<<2时，方程为：，a2=2-，b2
4、=5-，则c2=7-2与有关；当>5时，方程为：，a2=-5，b2=-2，则c2=2-7，与有关；故选C。[巩固1]若表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是。[来源:Zxxk.Com][来源:学科网ZXXK][巩固2]双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则A．B．C．D．2．双曲线关于x轴、y轴、原点对称；P(x,y)是双曲线上一点，则
5、x
6、≥a,y∈R，双曲线的焦准距为，双曲线的通经（过焦点且垂直于实轴的弦）长为2；过焦点的弦中，端点在同一支上时通经最短，端点在两支上时实轴最短。等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为；
7、反比例函数的图象是一个经过旋转的等轴双曲线，渐近线为两坐标轴，对称轴为直线。[举例1]双曲线的中心、右焦点、右顶点、右准线与x轴的交点，依次为O、F、A、H，当
8、HF
9、≥
10、AF
11、时，的最大值为。解析：
12、HF
13、=，
14、AF
15、=c-a,∴≥(c-a)≥c≤2ae≤2==e-,记f(e)=e-,函数f(e)在（1，2上递增，∴f(e)≤f(2)=.[举例2]已知函数的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这个定长为．解析：双曲线的实轴所在的直线为y=x，实轴与双曲线的交点即顶点为A1（1，1）和A2（-1，-1）
16、，2a=
17、A1A2
18、=2,此即“定长”。注：我们可以再由等轴双曲线的性质得：c=2,[来源:学&科&网]进而得该双曲线的焦点坐标为（-，-），（，）。[巩固1]双曲线的右准线与两条渐近线交于A、B两点，右焦点为F，且=0，那么双曲线的离心率为 （）A．B．C．2D．[巩固2]过双曲线2x2-y2=2的右焦点F的直线交双曲线于A、B两点，若
19、AB
20、=4，则这样的直线有条。[迁移]已知双曲线的实轴A1A2，虚轴为B1B2，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F2折至点F，若点F在平面A1B1B2内的射影
21、恰好是该双曲线左顶点A1，则直线B1F与平面A1B1B2所成角的正切值为。3.熟悉双曲线的渐近线的几何特征（无限接近双曲线但与双曲线不相交）和代数特征（渐近线方程是双曲线标准方程中的“1”换为“0”）；平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，但不相切（体现在代数上：直线方程代入曲线方程得到的是一次方程）。已知渐近线方程为：，则双曲线方程为：，其中是待定的参数（渐近线不能唯一地确定双曲线）。双曲线的焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b。[举例1]双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为：A．B．C．D．（）解析：双曲线
22、的渐近线方程为：即y=±x，（≥0）∴=，双曲线方程为：，离心率为，选B。[举例2]已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A） （B） （C） （D）[来源:Zxxk.Com]解析：根据双曲线的图形特点知，双曲线渐近线的倾角大于或等于600时，过焦点且倾斜角为600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，于是有≥c2-a2≥3a2,得e≥2。[巩固1]与双曲线有共同渐近线，且过的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是：（）A．B．C．D．[
23、来源:学科网][巩固2]曲线C：x2-y2=1,(x≤0)上一点P（a,b）到它的一条斜率为正的渐近线的距离为它的离心率，则a+b的值是；曲线C的左焦点为F，M（x,y）(y≤0)是曲线C上的动点，则直线MF的倾角的范围是.[迁移]曲线C：与直线y=kx+1有两个不同的公共点，则k的取值范围是。4．研究双曲线上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；关注定义中的“绝对值”，由此导致一个点在双曲线的左支和右支上的情形是不同的。[举例1]已知向量=(,),=(,-)，双曲线·=1上一点M到F(7,0)的距离为11，N是MF的中点，
24、O为坐标原点，则
25、ON
26、=[来源:学科网]A．B．C．D．或[来源:Zxxk.Com]解析：双曲线方程为：，左支上的点到右焦点F(7,0)的距离的最小值为12，∴M是双曲线右支上的点，记左焦点为F/，则
27、MF/
28、-
29、MF
30、=2a，即
31、MF/
32、=21，在⊿MFF/中，ON中位线，∴
33、ON
34、=
