高中数学知识总结_要点重温_函数概念

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1、要点重温之函数概念、图象、性质1.一条曲线是函数图象的必要条件是:图象与平行于y轴的直线至多只有一个交点。一个函数存在反函数的充要条件是:定义域与值域须一一对应,反应在图象上平行于X轴的直线与图象至多有一个交点。单调函数必存在反函数吗?(是的,任何函数在它的一个单调区间内总有反函数);[举例]函数f(x)=x2-tx+2在[1,2]上有反函数,则t的一切可取值的范围是______解析:对于“连续”函数而言,函数有反函数即单调;f(x)=x2-tx+2在[1,2]上单调即区间[1,2]在对称轴x=的一侧,∴≥2或≤1,即]t≤2或t≥4。2.求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域,即要求出

2、原函数的值域。求反函数的表达式的过程就是解(关于x的)方程的过程。注意:x=f-1(y)一定是唯一的。[举例]函数的反函数为(A)(B)(C)(D)解析:∵,∴=1+>1(关注分离常数),∴∈(0,+)又由得=,不难解出,互换后得(互换是“全面”的,表达式上换,定义域、值域也要换)故选B。3.原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域;原函数与反函数的图象关于y=x对称;若函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,aA,bC,f[f-1(b)]=b;f-1[f(a)]=a[举例1]已知函数的反函数的图象的对称中心是(0,2),则a=____解析:原函数是有反比例函数(奇函数)

3、平移而来,其图象关于(a,0)对称,∴它的反函数的图象应关于(0,a)对称,即a=2[举例2]已知f(x)=x2+2x+3,(x>-1),则f-1(3)=。解析:此题不宜求反函数(麻烦),注意到3是反函数y=f-1(x)的自变量,就是原函数y=f(x)的函数值,令x2+2x+3=3,得x=0或x=-2,又x>-1,∴x=0,此即反函数的函数值f-1(3)(原函数的自变量)。[迁移]已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x-,x[,],求f-1(1)的值。4.奇函数对定义域内的任意x满足f(-x)+f(x)=0;偶函数对定义域内的任意x满足f(-x)-f(x)=0;注意:使用函数奇偶性

4、的定义解题时,得到的是关于x的恒等式而不是方程。若函数f(x)是奇函数或偶函数,则f(x)定义域必关于原点对称;反之,函数定义域不关于原点对称,该函数既非奇函数也非偶函数。若f(x)是奇函数且f(0)存在,则f(0)=0;反之不然。[举例]函数f(x)=loga

5、x-b

6、是偶函数的充要条件为解析:思路一:函数f(x)=loga

7、x-b

8、是由偶函数y=loga

9、x

10、平移所得,∴函数f(x)=loga

11、x-b

12、的图象关于直线x=b对称,而它自身又是偶函数,图象又关于y轴(x=0)对称,∴b=0。思路二:f(x)=loga

13、x-b

14、是偶函数则loga

15、-x-b

16、=loga

17、x-b

18、恒成立,即

19、x

20、+b

21、=

22、x-b

23、恒成立,∴b=0。[巩固]设f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函数,g(x)=是奇函数,那么a+b的值为()A.1B.-1C.-D.5.偶函数图象关于y轴对称,推广:函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a-x)=f(a+x)函数f(x)的图象关于x=a对称,再推广:函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a+x)=f(b-x),f(x)的图象关于x=对称。奇函数图象关于原点对称,关推广:函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a-x)=-f(a+x)函数f(x)的图象关于(a,0)对称。注意:两个函数图象之间的对称问题不同于函数自身的对称问题。函数y=f(x)的图象关于

24、直线x=a的对称曲线是函数y=f(2a-x)的图象,函数y=f(x)的图象关于点(a,0)的对称曲线是函数y=-f(2a-x)的图象。,[举例1]若函数y=f(x-1)是偶函数,则y=f(x)的图象关于对称解析:思路一:y=f(x-1)是偶函数,其图象关于y轴对称,向左平移1个单位后得到函数y=f(x)的图象,对称轴也随之平移至x=-1,即函数y=f(x)的图象关于x=-1对称;思路二:y=f(x-1)是偶函数,则有f(-x-1)=f(x-1),由轴对称的等价定义知函数y=f(x)的图象关于x=-1对称。[举例2]若函数f(x)=(x-a)3满足f(1+x)=-f(1-x),则f(2)=.

25、解析:由f(1+x)=-f(1-x)知,函数y=f(x)的图象关于(1,0)对称,事实上函数f(x)=(x-a)3的图象关于(a,0)对称,∴a=1,于是f(x)=(x-1)3,f(2)=1。[巩固]函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图象A.关于y轴对称B.关于直线x=a对称C.关于点M(a,0)对称D.关于点M(-a,0)对称6.若函数f(x)满足:f(x+a)=f(x-a),则f(x)是以2a为周期的函数。

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