高考数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题五立体几何第三讲空间向量与立体几何适考素能特训理

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1、专题五立体几何第三讲空间向量与立体几何适考素能特训理一、选择题1．[2015·陕西西安质检]若平面α，β的法向量分别是n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　)A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上答案均不正确答案　C解析　∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，且不共线．∴α与β相交但不垂直．2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　不妨设CB＝1，则B(

2、0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)．∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)．cos〈，〉＝＝＝，故选A.3．[2016·湖南怀化检测]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)A．斜交B．平行C．垂直D．MN在平面BB1C1C内答案　B解析　建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝，则M，N，＝.又C1D1⊥平面BB1C1C，所以＝(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为·＝0，

3、所以⊥，所以MN∥平面BB1C1C.4．[2014·四川高考]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　B解析　(1)解法一：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设DC＝DA＝DD1＝1，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，O，并设点P(0,1，t)，且0≤t≤1.则＝，＝(－1,0，－1)，＝(0,1，－1)．设平面A1BD

4、的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则有即取x0＝1，y0＝－1，z0＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．∴sinα＝

5、cos〈，n〉

6、＝(0≤t≤1)，∴sin2α＝，0≤t≤1.令f(t)＝，0≤t≤1.则f′(t)＝＝－，可知当t∈时，f′(t)>0；当t∈时，f′(t)≤0.又∵f(0)＝，f＝1，f(1)＝，∴fmax(t)＝f＝1，fmin(t)＝f(0)＝.∴sinα的最大值为1，最小值为.∴sinα的取值范围为，故选B.解法二：易证AC1⊥平面A1BD，当点P在线段CC1上从C运动到C1时，直线OP与平面A1BD所成的角α的变

7、化情况：∠AOA1→→∠C1OA1(点P为线段CC1的中点时，α＝)．由于sin∠AOA1＝，sin∠C1OA1＝>，sin＝1，所以sinα的取值范围是，故选B.二、填空题5．[2016·江苏苏州二模]已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为________．答案　解析　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，相关各点的坐标为G(0,0,2)，F(4,2,0)，E(2,4,0)，C(0,0,0)，则＝(0,0,2)，＝(4,2，－2)，＝(2,4，－2)．设平面GE

8、F的法向量为n＝(x，y，z)，由得平面GEF是一个法向量为n＝(1,1,3)，所以点C到平面GEF的距离d＝＝.三、解答题6．[2015·甘肃天水一模]如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，SD＝2，∠SDC＝120°.(1)求SC与平面SAB所成角的正弦值；(2)求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．解　如图，在平面SCD中，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则有D(0,0,0)，S(

9、0，－1，)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(1,2,0)．(1)设平面SAB的法向量为n＝(x，y，z)，∵＝(－1,2,0)，＝(－2，－1，)，A·n＝0，A·n＝0，∴取y＝，得n＝(2，，5)．又＝(0,3，－)，设SC与平面SAB所成角为θ，则sinθ＝

10、cos〈S，n〉

11、＝＝，故SC与平面SAB所成角的正弦值为.(2)设平面SAD的法向量为m＝(a，b，c)，∵D＝(2,0,0)，D＝(0，－1，)，则有取b＝，得m＝(0，，1)．∴cos〈n，m〉＝＝＝，故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是.7．[201

12、4·全国卷Ⅰ]如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A