一轮复习配套讲义：选修4-2 矩阵与变换设计

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1、选修4－2　矩阵与变换A[最新考纲]1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质．4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.知识梳理1．矩阵的乘法规则(1)行矩阵[a11　a12]与列矩阵的乘法规则：[a11　a12]＝[a11×b11＋a12×b21]．(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：＝.设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任

2、意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ；③A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：＝性质：①一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)；③矩阵的乘法不满足消去律．2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.(2)逆矩阵的求法：一般地

3、，对于二阶可逆矩阵A＝(detA＝ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝.(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组的系数矩阵A＝可逆，那么该方程组有唯一解＝－1，其中A－1＝.3．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A＝的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝，则A＝λ，即满足二元一次方程组故⇔＝(*)则(*)式有非零解的充要条件是它

4、的系数矩阵的行列式＝0.记f(λ)＝为矩阵A＝的特征多项式；方程＝0，即f(λ)＝0称为矩阵A＝的特征方程．(3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ是特征方程f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解记ξ1＝，ξ2＝.则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A＝的特征值，ξ1＝，ξ2＝为矩阵A的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．诊断自测1.＝________.解析　＝＝.答案　2．若A＝

5、，B＝，则AB＝________.解析　AB＝＝＝.答案　3．设A＝，B＝，则AB的逆矩阵为________．解析　∵A－1＝，B－1＝∴(AB)－1＝B－1A－1＝＝.答案　4．函数y＝x2在矩阵M＝变换作用下的结果为________．解析　＝＝⇒x＝x′，y＝4y′，代入y＝x2，得y′＝x′2，即y＝x2.答案　y＝x25．若A＝，则A的特征值为________．解析　A的特征多项式f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，∴A的特征值为λ1＝7，λ2＝－4.答案　7和－4考点一　矩阵与变换【例1】(201

6、4·苏州市自主学习调查)已知a，b是实数，如果矩阵M＝所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值．解　设点(x，y)是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x′，y′)，则＝，所以因为点(x′，y′)，在直线x＋2y＝1上，所以(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即所以规律方法理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．【训练1】已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A′(0,3)，B′(1，－1)，试求变换S对应的矩阵T.解　设T＝，则T：→＝＝＝

7、，解得T：→＝＝＝，解得综上可知T＝.考点二　二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】已知矩阵M＝所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13,5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标．解　依题意得由M＝，得

8、M

9、＝1，故M－1＝.从而由＝得＝＝＝，故∴A(2，－3)为所求．规律方法求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB)－1＝B－1A－1性质的应用．【训练2】已知矩阵A＝，(1)求矩阵A的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组解　(1)法一　设逆矩阵为A－1＝，则由＝，得解得A－1＝.法二　由公式知若A＝＝，(2

10、)已知方程组可转化为即AX＝B，其中A＝，X＝，B＝，且由(1)，得A－1＝.因此，由AX＝B，同时左乘A－