一轮复习配套讲义：第2篇 第6讲 对数与对数函数设计

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1、第6讲　对数与对数函数[最新考纲]1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象；3．体会对数函数是一类重要的函数模型；4．了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.知识梳理1．对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法

2、则(1)对数的性质几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1)①＝N；②logaaN＝N；③logbN＝；④＝logab；⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.(2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0)①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④loga＝logaM.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R　　　　(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x＞1

3、时，y＞0当0＜x＜1时，y＜0(5)当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数辨析感悟1．对数运算的辨析(1)(2013·浙江卷改编)已知x，y为正实数，①2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy，②2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy，③2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy，④2lg(xy)＝2lgx·2lgy，以上四个式子错误的是①②③.(√)(2)(2013·中山调研改编)若log4[log3(log2x)]＝0，则＝.(√)2．对数函数的理解(3)(2013·吉林调研改编)函数y

4、＝log3(2x－4)的定义域为(2，＋∞)．(√)(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(√)(5)(2014·长沙模拟改编)函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝2.(×)(6)log2x2＝2log2x.(×)[感悟·提升]三个防范　一是在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；二是对公式要熟记，防止混用；三是对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0＜a＜1和a＞1分类讨论，否则易出错

5、.学生用书第25页　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点一　对数的运算例1(1)的值是________．(2)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log23)＝(　　)．A.B.C.D.(1)解析　原式＝＝＝＝＝＝＝1.答案　(1)1　(2)A规律方法(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、

6、化简、证明常用的技巧．训练1(1)已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2＝________.解析　(1)am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝2·an＝22×3＝12.(2)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.答案　(1)12　(2)2考点二　对数函数的图象及其应用例2(2012·新课标全国卷)当0＜x≤时，4x＜logax，则a

7、的取值范围是(　　)．A.B.C．(1，)D．(，2)审题路线　在同一坐标系下作出两个函数y＝4x与y＝logax的图象⇒画函数y＝logax的图象可考虑两种情况：a＞1和0＜a＜1⇒观察图象，当a＞1时不符合题意舍去，所以只画出0＜a＜1的情形⇒观察图象的交点满足条件：loga＞2即可．解析　由题意得，当0＜a＜1时，要使得4x＜logax，即当0＜x≤时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．又当x＝时，＝2，即函数y＝4x的图象过点，把点代入函数y＝logax，得a＝，若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需

8、＜a＜1(如图所示)．当a＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是.答案　B规律方法一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解