合理进行分类讨论

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1、合理进行分类讨论　　例求抛物线y2=2x上的动点P到定点A（a，0）的距离PA的最小值.　　错解：设P（x，y），则PA2=（x-a）2+y2=x2-2ax+a2+2x=x2-2（a-1）x+a2=[x-（a-1）]2+2a-1.当x=a-1时，[x-（a-1）]2有最小值0，所以PA2min=2a-1，PAmin=.　　错因分析观察答案，由题意可知a∈R，故2a-1≥0不一定成立，所以答案肯定有误.再深入分析，由于P（x，y）在抛物线y2=2x上，所以x≥0.只有当x=a-1≥0时，[x-（a-1）]2=0才能成立，而a-1≥0却未必成立

2、.所以我们要对参数a的取值范围进行讨论.　　正解：由错解得PA2=[x-（a-1）]2+2a-1（x≥0）.记f（x）=[x-（a-1）]2+2a-1（x∈R）.由二次函数性质可知f（x）的图象开口向上，对称轴x=a-1.　　当a-1≥0即a≥1时，由二次函数图象性质可知f（x）min=f（a-1）=2a-1>0，故PAmin=.　　当a-10，即PA2min=a2，故PAmin=a.　　小结根据题意可知x≥0，而a∈R，故a-1=x≥0不一定成立，因此我们有必要分“a-1≥0”与“a-1<0”两种情况进行讨论.错解没有进行分类讨论，所以造

3、成了错误.　　一般来说，当数学问题不能“一概而论”时，均应考虑分类讨论.3分类讨论是一种重要的解题策略，体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.所谓分类讨论，就是先根据所求目标的不同特点，分为既不重复又不遗漏的几类，分别进行讨论，再将各类情况加以综合，得出结论.如果我们不清楚什么时候该进行分类讨论、如何进行分类讨论，就很容易导致出错.　　下面来总结一下引起分类讨论的原因.　　（1）分类定义引起讨论.　　有些概念、性质或公式是分类定义的，在不同的条件下有不同的情况.如果题目涉及这类概念、性质和公式，就要进行分类讨论.分类定义的情况主要

4、包括指数函数与对数函数的单调性、等比数列的前n项和、由数列的前n项和Sn求通项an、绝对值内表达式的正负等.　　比如，对于问题“函数f（x）=ax（a>0且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，则a=”，我们要根据指数函数的性质分a>1与0　　（2）形状不定引起讨论.　　若几何形状或位置不确定，就需要进行分类讨论.这类情况主要包括二次函数图象的开口方向、函数图象与x轴的交点位置或个数、直角三角形的直角顶点所在位置、点在线（面）的同侧异侧等.　　比如，对于问题“已知向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），问是否存在实数k，使△A

5、BC为直角三角形”，我们就要讨论当∠A，∠B，∠C分别为直角时k的值.　　（3）条件限制引起讨论.3　　有些问题本身具有限制条件，比如要求二次函数在闭区间上的最值，就要讨论二次函数的对称轴与闭区间的关系.有些问题在解题过程中会产生限制条件，比如零不能作分母、不等式两边同乘以或除以某数时必须考虑该数的正负等.在例题中，“x=a-1≥0不一定成立”就是限制条件.　　如何进行分类讨论呢？我们可以遵循以下原则：　　（1）当问题中出现多个不确定因素时，应逐级有序进行分类讨论，并且应先讨论起主导作用的因素.　　例如，对于问题“在直角坐标系中存在定点A，

6、B，要求找出点C，使△ABC为一个角为30°的直角三角形”，我们需要分两个层级讨论，第一层级是∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°三种情况；第二层级则是分别在∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°这三种情况下讨论哪个角为30°.　　（2）同一层级的讨论只能针对同一对象.　　比如求解含参二次函数问题时，常需考虑二次项系数的正负、判别式的符号、含参零点的大小，但它们属于不同的讨论层级.我们可以先分二次项系数大于零、等于零、小于零三种情况讨论，然后在这三种情况下分别讨论下一层级.　　（3）对某一对象进行讨论时，要保证不重不漏.　　比如求分段

7、函数f（x）=x，x>1，x2，-1≤x≤1，2x3-9，x1，-1≤x≤1，x<-1三种情况讨论.　　列出所有需要讨论的可能性之后，要仔细审查每种可能性是否都存在，不合题意的分类讨论结果应该舍去，重复的结果要进行合并.比如求含参函数的单调区间时，有些区间是可以合并的.3