提高学生使用“数形结合法”解三角函数问题的能力

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1、提高学生使用“数形结合法”解三角函数问题的能力　　【关键词】数形结合法三角函数策略研究　　【中图分类号】G【文献标识码】A　　【文章编号】0450-9889（2013）07B-0014-03　　数形结合法是学习中学数学的一种非常重要的解题思想方法，它可以把方程、函数、不等式、图形的位置关系、图形的数量关系巧妙地连接在一起，堪称珠联璧合的高手。正如著名数学家华罗庚所言：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形无数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”　　一、问题的提出　　数形结合法由于其解法的巧妙性，在考试中往往

2、能节约不少做题时间，并且每年高考都有不少用数形结合法可以快速求解的题型。从2005年、2006年和2008年的高考改卷情况看，这些题的得分率却不高。为此，笔者特意在使用数形结合法最多的《三角函数》中在所带过的四届学生中进行了调查，调查对象为高一年级下学期的学生，每期参与调查的学生人数平均为117人，调查结果如下（见下页表1、表2）：　　从上述的调查可以看出：①在解三角函数问题时，想到使用数形结合法解题的学生非常少；②对不同的考题，使用数形结合法的学生人数也有显著差异；③8本校学生的数形结合能力总体较低，主要体现在基础知识的缺漏及数形结合的桥梁无法搭建或错误构建；④使用数形结合

3、法有时并不是最优的解题思想方法，有可能会增加解题的负担；⑤某些题目中恰当使用数形结合法解题正确率远远高于非数形结合法。　　二、经验提升及反思教学　　纵观传统教学过程中数形结合法的有效教学策略，笔者根据多年的教学经验总结出以下几个方面：　　1.归纳整理出能使用数形结合法的考题特征。如黑龙江省大庆实验中学的黄萍列举了数形结合法在判断方程根的个数问题、在解不等式、在线性规划、在圆和圆锥曲线中的应用。又如盐亭县职业高级中学的何大涌也归纳出运用数形结合法巧解高考三角函数问题的求函数的最值、确定角的范围、判断函数的单调性、函数零点或方程的根、确定参数的范围等五种考题特征。另外，广西师范大

4、学教授袁桂珍也整理出了验证类、图形重组类、探索规律类等八大类。　　2.注意数与形的联系，构建常见的数与形的关系表格。　　3.举一反三，变式教学。　　4.从“数”想“形”，可由“形”到“数”，也可由“数”到“形”，甚至实现数与数、形与形的直接对接。笔者对这四届学生采用传统教学模式，对上面四种有效的数形结合教学策略进行尝试，但学生对用数形结合法解决三角函数问题却很不敏感。　　三、形成探究课题　　纵观各种提高高中生解题能力的研究，笔者发现有两点共性很高。其一是“教法”8上想办法：如改变教学理念，改进教学方法和教学模式；思维诱导强化，培养学生学习数学的兴趣；注重能力训练，发展学生数学

5、应用意识。其二是“学法”上下工夫：如增强主动性，养成好习惯；增强独立性，突破“师言堂”；增强探求性，树立自信心。　　其中，针对教学模式的改革，笔者在高2011级学生班级实施新课堂教学模式，经过上半学期的尝试，笔者发现新课堂教学模式与传统模式有很大的不同。因此，笔者饶有兴趣地开展了在新课堂模式下，提高学生应用数形结合法解三角函数问题的研究，并根据传统教学的有效策略，制订了以下几种策略。　　（一）策略一：精心设计导学案，润物细无声，数形结合巧然现　　由于在新课堂模式下，教师对学生引导最多、最集中、最有效的就是导学案，它不仅可以把教师想点到的内容进行呈现，也是学生顺利构建知识框架的

6、基础。　　途径1：概念的教学是中学数学的一个重要板块，据统计，高中阶段理科概念有396个，文科概念有359个，而可以构建数形关系的概念占95%左右。因此，精心设计导学案，从数与形对概念进行螺旋式转换，是夯实“数形结合”的根基，是开启学生对数形结合法解三角函数问题敏感度大门的一个有效途径。　　途径2：在传统教法中，归纳整理出能使用数形结合法的考题特征是提升学生数形结合法解题敏感度非常有效的教学策略。所以在新课堂模式下，精心设计导学案，可以将传统法中这一策略发挥到极致。8　　笔者对这十年来广西高考题中涉及三角函数内容的考题进行研究，归纳出可以使用数形结合法的考题类型：求特殊角的三

7、角函数值、知角求值、知值求值、知值求角、函数的值域（含最大值和最小值）、确定角的范围、判断函数的单调性、函数零点或方程的根、确定参数的范围、解斜三角形等等。因此，我们应该精心设计导学案，提升学生用数形结合法解决三角函数问题的敏感度。　　途径3：精心设计导学案，对新课内容、专题内容、复习课内容、习题课内容、讲评课内容都可以进行必要且精彩的呈现。在不同的课型中，只要保持将数形结合法贯穿始终，教学完成三角函数后，学生至少有5次以上的重复感知、提升数形结合法的机会，基本可以达到熟记水平。因此，精心设计导学案，可