激活三个关系简解立几问题

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1、激活三个关系简解立几问题　　点、直线、平面是组成几何体的基本元素，它们之间的关系，主要就是空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行与垂直的判定和性质，这是整个立体几何的基础，是立体几何中推理和计算的基础，是培养空间想象能力的主要载体，更是历年高考的必考内容之一.近年来这方面的高考试题的题型基本趋于稳定，难度属中等偏易，大部分同学理应能得到高分或满分，但从高考阅卷现场反馈回来的信息来看，有相当一部分的考生未必能拿到理想的高分.究其原因，主要是厘不清点、线、面之间的关系，没有空间概念，从而抓不住

2、解题的关键.面对高考试题，不是束手无策，就是乱解一气，费时费力，劳而无功.　　为解决上述问题，搞好立体几何的复习，要激活点、线、面之间的三个关系，厘清直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行与垂直的判定和性质，快速、简捷地求解立体几何试题.　　一、理解三个关系，掌握十四个定理　　空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系主要有三个关系，十四个定理或性质.8　　三个关系：平行的传递关系，垂直的传递关系，平行与垂直的转化关系，所有位置关系的基础是线线之间的平行与垂直.它们通过下面的十四定理

3、进行传递或转化，由线线线面面面的位置关系常用的是判定定理，反之，由面面线面线线的位置关系常用的是性质定理，它们之间的关系如下图所示.　　说明：（1）图中的定理①②③④⑤是平行与垂直的判定定理；定理⑧⑨⑩是平行与垂直的性质或一些位置关系的性质定理，它们之间是平行、垂直关系的直接传递关系；定理⑥⑦是平行与垂直的转化关系，平行转化为判定垂直或由垂直转化为推出平行.　　（2）凡是箭头指向某一位置关系，就是证明或判断这个位置关系的一个方法，有几个箭头指向这个位置关系，就有证明判定这个位置关系的几个方法.一般拿到

4、一个证明或判定位置关系的题目，对照关系图，方法和思路很快就能找到.　　（3）十四个定理附录如下：　　定理①：直线和平面平行的判定定理；　　定理②：平面与平面平行的判定定理；　　定理③：定理②的推论；　　定理④：直线与平面垂直的判定定理；　　定理⑤：平面与平面垂直的判定定理；　　定理⑥：两条平行线的一条垂直一个平面（直线），那么另一条也垂直这个平面（直线）；　　定理⑦：垂直于同一条直线的两个平面平行；　　定理⑧：两个平面互相平行，那么在一个平面的任何一条直线都平行另一个平面；　　定理⑨：直线与平面平行的

5、性质定理；　　定理⑩：平面与平面平行的性质定理；8　　定理：平面与平面垂直的性质定理；　　定理：由线面垂直的定义推出的性质，若线面垂直，则线线垂直；　　定理：一条直线（平面）垂直两个平行平面的一个平面，那么它也垂直另一个平面；　　定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.　　所有这些位置关系中，线线关系是一切位置关系的基础.要得到直线与直线的平行，如在同一平面中，由平面几何中的定理来推出，在空间、有公理4和图表中的定理⑨、⑩、都可以得到.要得到直线与直线垂直，一是由两直线成角90°，则两直线垂直，二是由定

6、理可堆出，三是三垂线定理或三垂线定理的逆定理（适用理科）都可以推出直线与直线的垂直.　　二、激活三个关系，简解立几问题　　立体几何中的位置关系的判定或证明，根据求证想判定的条件，再根据已知想性质，从而找到判定的条件，如果从性质中不能直接找到判定的条件，就需要添加辅助元素，架起已知和求证之间的桥梁，或者运用曾经学过的知识帮助解决，只要激活三个关系，就可以快速简捷地求解决立体几何问题.例如，要求证线面平行，根据关系图，只有两种方法，一是用定理①，找平面外的一条直线和平面内的一条直线平行；二是用定理⑧，若无

7、法找到直线和平面内的一条直线平行，那就根据已知条件先证两个平面平行，再推出线面平行.又如，证明平面与平面垂直，只有一种方法，就是用定理⑤8，在一个平面内找到一条直线垂直另一个平面即可.（说明一下，本文涉及位置关系的证明，一般没有包括用有关定义来证明）所以要证有关问题，首先在关系图中找到证明的几种方法，然后根据已知条件确定用一种或两种方法完成证明.凡是要证明一个位置关系，判定的条件一个也不能少，少一个条件就得不到正确的结果.　　例1（2013年广东卷）设l为直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确是

8、（）.　　（A）若l∥α，l∥β，则α∥β　　（B）若l⊥α，l⊥β，则α∥β　　（C）若l⊥α，l∥β，则α∥β　　（D）若α⊥β，l∥α，则l⊥β　　分析：本题主要考查线面位置关系的基本知识，考查考生的空间想象能力和推理论证能力.　　解：由于题目是四选一的选择题，而且题中的位置关系较多，若一个一个地推理判断，费时费力收效甚微.拿起关系图，对照有关位置关系，凡是符合定理的，一定正确.选项B符合定理⑦，∴B正确，故选B.　　例2若m，n是两条不同的直线，