教材题目的一题多解与一题多变

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1、教材题目的一题多解与一题多变　　教学中紧扣课本，挖掘教材中的经典练习题潜在的内涵，让学生进行对比、联想，采取一题多解与一题多变是一种有效的教学手段.巧用典型题的多解与多变，既能加深学生对各章节基础知识的理解，又可培养学生的探索问题和解决问题的能力.本文将通过教材中两个例题的教学，谈谈对一题多解与一题多变的认识.　　一、一题多解　　一题多解，即一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路与解法.　　【例1】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.（人教版第二册（上）P131例3，教材给出两种解法）　　变式：斜率为

2、1的直线经过椭圆x2+4y2=4的右焦点，与椭圆相交于两点A、B，求线段AB的长.　　解法一：先将直线方程和椭圆方程联立求A、B坐标，然后利用距离公式求AB的长.　　解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知l的方程为y=x-3.　　联立y=x-3，　　x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.　　由弦长公式得

3、AB

4、=（x1+x2）2-4x1x2=815.4　　图1解法三：由椭圆的第二定义知

5、AB

6、=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.　　解法四：（几何法）由图1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，　　即11e（BF-AF）1AF

7、+BF=cos45°.　　又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，　　求得AF、BF，进而AB=AF+BF.　　该法是利用几何关系建立方程，此方法也可灵活解决以下题目：　　1.（2009年全国卷Ⅱ，11）已知双曲线C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（）.　　2.（2010年全国卷Ⅱ，12）已知椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的离心率为312，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点.若AF=3FB，则k=.　　解法五：（点差

8、法）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），其在准线上的射影为M′.　　x21+4y21=4，（1）　　x22+4y22=4.（2）　　（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）　　又M（x0，y0）在直线AB上，则y0=x0-3.（4）　　由（3）（4）得x0=4215.　　MM′为梯形的中位线，所以MM′=AA′+BB′12，　　即（a21c-x0）=11e?AF+BF12=11E?AB12，得解.　　二、一题多变4　　一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的

9、结论.　　图2【例2】过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个焦点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p2.（人教材第二册（上）P133第7题）　　变式：如图2，设A（x1，y1），B（x2，y2）.求证：　　（1）x1x2=p214；　　（2）11

10、AF

11、+11

12、BF

13、=21p；　　（3）

14、AB

15、=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ为直线的倾斜角）；　　（4）S△ABO=p212sinθ；　　（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.　　（6）（教材第2题）过抛物线的焦点的直线与抛物线相较于、两点，自、向准线作垂线，垂足分别为、，求证

16、.　　（7）设线段AB中点M在准线上的射影为N，证明：.　　（8）设线段AB中点M在准线上的射影为N，MN交抛物线点Q，证明：MQ=NQ.　　（9）（教材第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求证直线MQ平行于抛物线的称轴.　　（10）求证：存在实数使得.4　　实质：证明A、O、D三点共线.（2001年高考题）设抛物线（）的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明直线经过原点.　　2.题设变更变式　　（1）一条直线与抛物线交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点

17、，求且直线MQ平行于抛物线的称轴，求证直线过抛物线焦点.　　将此变式与上面的（8）、（9）联系起来，更能体现问题的本质.　　（2）（教材例2）如图，直线与抛物线相较于点、，求证.　　实质：直线与抛物线相较于点、，且，则直线恒过点.　　积极开展多种变式题的求解，不仅可以渗透、活化所学的知识，而且可以培养学生的发散、创新思维能力，引导学生能从问题的解法中概括推广出同类问题的解法，起到“讲好一题，带活一片”的效果.　　总之，在数学教学中，让学生学会一题多解与一题多变，有利于培养了学生的综合分析能力；有利于启迪思维，培养学生的发散思维能力和解题技巧，提高学生思维的敏

18、捷性、灵活性和深刻性；有利于创新意识的形成和发展，是