用根的判别式法解物理中的极值问题

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1、用根的判别式法解物理中的极值问题　　物理中的求极值问题有三种常用方法：（1）配方法；（2）根的判别式法；（3）均值不等式法.　　本文主要介绍应用一元二次方程根的判别式来求解物理中的极值问题，供初中师生教学时参考.　　例1一根均匀直杆，每米杆长自重为G0=40N，现截取这种直杆作杠杆使用，如图1，抬起G=400N的重物，重物悬挂点距杆左端支点O为a=0.2m，杠杆水平，作用于杆右端的动力F竖直向上，问：截取的直杆多长，可使加在杆右端的力F最小？这个最小力是多少？　　分析根据杠杆平衡条件可知，欲使动力F最小，即此时的动力臂杆长最长，而杆越长，杆的自重也越大，因杆的自重引起的阻力与阻力臂的

2、乘积也越大，这就产生了相互制约的现象.解此题的关键就在于统一这两个相互制约的问题，做到既最省力又使杆的自重产生的阻力最小.　　解如图2，设重物悬挂点为A，满足杠杆平衡条件的杆长为OC=n，则杆自重为nG0，重心B点距支点OB=n2，由杠杆平衡条件知　　F?OC=G?OA+nG0?OB，　　由F=80n+20n得20n2-F?n+80=0，　　这是一个关于n的一元二次方程，因为方程有实根（n>0），则　　Δ=F2-4×20×80≥0，F≥80，　　所以F最小=80N，此时n=2m.5　　例2如图3所示，电源电压为3V，供电电路的电阻为0.2Ω，试求：电灯泡的最大电功率.　　分析设电灯泡

3、的电阻为R，电功率为P，则电路的总电阻为R+0.2（Ω）.根据欧姆定律，电路中的电流强度为I=3R+0.2（A），所以电灯泡的电功率为　　P=I2R=（3R+0.2）2R（W）（1）　　下面用判别式Δ=b2-4ac≥0来求出极值.　　解由（1）式P=（3R+0.2）2R，变形为关于R的一元二次方程：　　PR2+（0.4P-9）R+0.04P=0（2）　　这里方程（2）应该有实数根，故Δ≥0.　　因为Δ=b2-4ac=（0.4P-9）2-4P×0.04P　　=-7.2P+81.　　所以-7.2P+81≥0，　　得P≤11.25W.　　即P的最大值为11.25W，此时　　R=-b±Δ2a

4、=0.2（Ω）.　　例3某工地在冬天水利建设中设计了一个提起重物的机械，如图4是这个机械一个组成部分的示意图.OA是一根钢管，每米长受重力为30N，O是转动轴.重物质量m为150kg，挂在B处，OB=1m，拉力F加在A点，竖直向上.取g=10N/kg，为维持钢管平衡，钢管OA为多长时所用拉力最小？这个最小拉力是多少？5　　解设钢管长为L米，钢管在拉力FA、重物拉力mg和钢管自身重力G0=30L牛的作用下平衡，则有　　FAL=mg?OB+G0?L2=150×10×1+30L×L2，　　所以15L2-FA+1500=0.　　这个关于L的一元二次方程有解得条件是　　（-FA）2-4×15×

5、1500≥0，　　所以F2A-90000≥0，　　得FA≥300N.　　因此，FA的最小值为300N，代入杠杆平衡方程得　　L=10m.　　例4如图5所示，某同学在做“测定小灯泡功率”的实验中，所用灯泡电阻为10Ω，滑动变阻器的阻值范围为0～20Ω，电源电压为4V.（电源电压和灯丝电阻不变），在移动滑片P的过程中，会使滑动变阻器消耗的电功率最大，这个最大值PM多大？　　分析设电源电压为U，滑动变阻器两端的电压为U1，　　则电路中的电流I=U-U1R0.　　滑动变阻器消耗的功率P=U1I=U1（U-U1）R0.　　在上式中U1和（U-U1）均为变量，要计算P的最大值可用一元二次方程根的

6、判别式对此题作出解答.　　解P=U1（U-U1）R，　　将此式整理成关于U1的一元二次方程　　U21-UU1-PR0=0，　　令Δ=b2-4ac≥0，5　　则有（-U1）2-4PR0>0，　　解得P=U24R0，　　即P有最大值Pm=U24R0=0.4W，　　将P=U24R0代入U21-UU1-PR0=0中得U1=U2.　　可知，此时滑动变阻器连入电路的电阻R=10Ω.　　例5如图6所示的装置，O为杠杆OA的支点，在离O点l0处挂着一个质量为M的物体B，杠杆每单位长度的质量为m，当杠杆的长度为多长时，可用最小力F维持杠杆平衡？这个最小力F是多少？　　分析杠杆在重力G、拉力F、重物B的

7、拉力作用下平衡，而且重力G及其力臂随杠杆长度的变化而变化.要求最小拉力，必须讨论最根本变量――杠杆长的取值.根据杠杆的平衡条件，可导出一个关于杠杆长L的一元二次方程.　　解设OA长为L，根据杠杆平衡条件有　　F?OA=G?12OA+Mg?OB，　　即F?L=mL?g?12L+Mgl0，　　L2-2Fmg?L+2Mml0=0（1）　　讨论L取何值时力F最小，可用判别式法.　　（1）式可视为关于L的一元二次方程，L有实根，所以Δ≥0，即　　（2Fmg）2-4×