例说高中数学类比推理

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1、例说高中数学类比推理　　《新课程标准数学科高考考试大纲》在选修1-2中，明确要求“能利用归纳和类比等进行简单的推理”。　　类比是一种思维形式，是根据两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，进而推得它们在另一属性上相同或相似的一种推理方法。类比是人们对客观事物思维的能动反映，它为科学假设和猜想提供思维模式，因此，类比成为人们发现真理的动力。物理学家开普勒说过：“我珍爱类比胜于一切，它是我可信赖的主人，它了解自然的所有秘密……”　　类比推理的形式如下：　　对象A具有属性a，b，c，d；　　对象B具有属性a，b，c；　　所以

2、对象B具有属性d.　　这里的A，B可以是不同领域的两种事物，只要有某种类似。由此可知，类比是逻辑推理方法中最富于创造性的一种方法，因为类比法不必像归纳法那样局限于同类事物，更不像演绎法那样受到一般原理的制约。下面就高中数学类比推理的几种类型举例说明。　　一、函数与方程型　　例1.（2001年上海高考题）已知两个圆x2+y2=1①与x2+（y-3）2=1②，则由①减去②6式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即得一个更一般的命题，而已知命题是所推广命题的一个特例，推广的命题为。　　解：由对称性知

3、，两圆半径相等，而圆心位置不同时才有对称轴方程，所以可填：已知两圆（x-a）2+（y-b）2=R2和（x-c）2+（y-d）2=R2（a≠c或b≠d），则此两方程相减可得这两个圆的对称轴方程。　　二、等差数列与等比数列型　　请看下表：　　■　　等差数列和等比数列的内容有明显的类似性，它们的对应命题之间存在着有趣的对应规律：等差数列各公式中的加、减、乘、除，正好分别对应着等比数列中的乘、除、乘方、开方。　　例2.（选修1-2）在等差数列{an}中，若a10=0，则有：a1+a2+…+an=a1+a2+…a19-n（n<19且

4、n∈N*）成立。类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9=1，则存在怎样的等式？　　解：在等差数列{an}中，由a10=0得，　　a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0　　所以，a1+a2+…+a19=19a10=0　　即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1　　又a1=-a19，a2=-a18，…，a19-n=-an+1　　∴a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n　　相应地，在等比数列{bn}中，由b9=1得，　　b1?b17=b2?b16=…=bn

5、?b18-n=bn+1?b17-n=b29=1　　所以，b1?b2…b17=b917=1类比等差数列有b1?b2…bn=■?b16…6bn+1=■?■…■=b1?b2…b17-n　　例3.若数列{an}是等差数列，则数列{bn}：bn=（a1+a2+…+a2n+1）/（2n+1）也是等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{an}是等比数列，则数列{bn}：bn=也是等比数列。　　解：∵数列{an}是等差数列，∴a1+a2+…+a2n+1=■=（2n+1）an+1∴bn=■=an+1为等差数列　　类似地，若数列{an}为等比

6、数列，则a1?a2…a2n+1=（a1a2n+1）n?an+1=（an+1）2n+1∴bn=■=an+1为等比数列。　　三、平面几何与立体几何型　　例4.平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：（平几）“长方形的每一边恰与另一边平行，而与其余的边垂直”；（立几）“长方体的每一面恰与另一面平行而与其余的面垂直。”试用类比法写出更多的命题。　　解：①（平几）直线；（立几）平面　　②（平几）在平行四边形中，对角线互相平分；　　（立几）在平行六面体中，对角线相交于一点，且互相平分。　　③（平几）圆面积等于圆周长与半径积的■

7、；　　（立几）球体积等于球面积与半径积的■。　　④（平几）平面内不共线的三点确定一个平面；　　（立几）空间中不共面的四点确定一个球。　　⑤（平几）在Rt△ABC中，两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则■=■+■6　　（立几）在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，长度为a、b、c，从这顶点到它所对的平面的距离为h，则■=■+■+■　　⑥（平几）P为ABC内的一点，ABC三边上的高分别为ha、hb、hc，P到三边的距离为la，lb?lc.则有：■+■+■=1（用面积法证）；　　（立几）P为四面体A-BCD内一点，四顶点到对面的

8、距离为ha、hb、hc、hD，P到这四个面的距离为la，lb.lc、ld，则有■+■+■=1（用体积法证）等。　　例5.（2003年全国高考题）在平面几何里有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积的关系，可