高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14_4 坐标系与参数方程 第2课时 不等式的证明课件 理 苏教版

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1、§14.4坐标系与参数方程第2课时　不等式的证明基础知识　自主学习课时作业题型分类　深度剖析内容索引基础知识　自主学习1.不等式证明的方法(1)比较法：①作差比较法：知道a>b⇔a－b>0，ab只要证明即可，这种方法称为作差比较法.②作商比较法：由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明____即可，这种方法称为作商比较法.知识梳理a－b>0(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即“”的方法.(3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使

2、它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法.即“”的方法.由因导果执果索因(4)反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法.②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法.(5)数学归纳法：一般地，当要证明一个命

3、题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.2.几个常用基本不等式(1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(当且仅当ad＝bc时，等号成立).②柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则

4、α

5、

6、β

7、≥

8、α·β

9、，等号当且仅当α，β共线时成立.(ac＋bd)2考点自测根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(

10、a2＋b2)(m2＋n2)，解答≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.解答∵x>0，y>0，解答题型分类　深度剖析题型一　用综合法与分析法证明不等式证明因为x>0，y>0，x－y>0，证明只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.所以原不等式成立.用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用

11、时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.思维升华跟踪训练1设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，证明证明题型二　放缩法证明不等式证明当

12、a＋b

13、＝0时，不等式显然成立.当

14、a＋b

15、≠0时，(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：思维升华②利用函

16、数的单调性；(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.证明由2n≥n＋k>n(k＝1,2，…，n)，得…∴原不等式成立.题型三　柯西不等式的应用例3已知x，y，z均为实数.证明(2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.解答(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.思维升华证明由柯西不等式及题意得，.[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)]≥(x＋y＋z)2＝27.课时作业解答1.已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值.1234567891

17、0解答12345678910即a＝－2.123456789103.(2016·徐州模拟)设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，求的最小值.解答123456789104.设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，求x＋y＋z.解答由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，12345678910求证：

18、2x＋y－4

19、＜a