从三道试题的错误解法谈几何概型概念的教学

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1、从三道试题的错误解法谈几何概型概念的教学  一、三道试题的教学反馈  以下是几何概型概念教学后,学生在解决有关概率问题所出现的困惑或者是错误,列举出来并做思考,反思一下:在几何概型概念的教学中应该抓住什么?  [问题1]事件区域缺失了吗  例1.假设小明家订了一份报纸,可能在早上6:30至7:30之间把报纸送到小明家,小明的爸爸离开家去工作的时间在早上7:00至8:00之间.试求小明的爸爸能得到报纸的概率.  解析:为方便作图,记6:30为0时,设送报人把报纸送到小明家的时刻为x,小明爸爸离开家的时刻记为y,则0≤x≤6

2、0,30≤y≤90(单位:min),则x、y对应区域如图1,小明爸爸要能看到报纸,必有y≥x,在坐标系中作出上述区域,可见S矩形ABCD=602,S五边形AEFCD=602-?302.  这是笔者在课堂上举的一个例子,正要总结时,下边站起来一位同学.  学生A:老师,我觉得你的解法不对!(全班同学都愕然!)  教师:请你说一下原因好吗?  学生A:你看△OAE内的点,是送报人在7:00之前把报纸送到,这个区域内小明的爸爸也能看到报纸,你在算概率的时候为什么不把这一区域包含在内呢?4  教师:△OAE内的点应该是怎样的? 

3、 学生:一定能看到报纸(齐回答)。  学生A:可你的五边形AEFCD内不也是一定能看到吗?  很多投以赞同的目光,对呀,△OAE内的点也表示能看到报纸,为什么算概率时把这一块缺失了呢?  教师:请大家再思考,△OAE内的点与AEFCD内的点有区别吗?(开始议论)  ……  [问题2]正确答案背后的问题  下边是笔者自编的一道作业题,是象限角与几何概型结合,从批改作业的过程中发现,有近半数的同学采取了下述解法:  例2.已知角α是第一象限的角,tanβ>0,求α与β终边重合的概率.  这个答案是对的,可这种解法对吗?  [

4、问题3]同一事件发生的概率居然会有两个吗  下边这道习题在文[1]~[6]中都作为几何概型中典型的反例被引用.但都是只分析了错误的原因和正确的解法,对于典型的错误,分析错因并找到正确的解法只是对其认识的第一层面,关键是这样的错误能给教和学带来什么启示,弄清这些才能达到认识上的真正提高.本文也把该例引出,以与读者共同反思几何概型概念的教学.  几何概型教学后,故意把这道习题交给学生处理,正如前面文章所言,学生的解法确实呈现以下两种情形.  例3.如图3,在等腰直角△4ABC的斜边AB上随机取一点M,求AM的长小于AC长的概

5、率.  解法一:点M随机分布在线段AB上,在AB上截取AC′=AC,于是P(AM  解法二:如图4作射线CM随机分布在∠ACB的内部,在AB上取AC′=AC,则∠ACC′=■=67.5°,故满足条件的事件的概率为P=■=■.  二、对几何概型概念教学的认识  教材中给出的几何概型的定义是这样的,如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometricmodelsofprobability),简称几何概型.几何概型概念教学的着力点是什么?  1.几何概型是用来运

6、算随机事件概率的一种理想模型和有效的方法,所以应在随机元素(基本事件)构成的区域内展开  2.测度应反映出区域的可测性  几何概型解决的问题对应的基本事件是无限的、不可数的、等可能的,但必须是可测的.在问题2中,虽然学生做对了答案,但这种方法是错误的,这是由于用面积作为测度的话,根本不能测量出一、三象限和阴影部分的面积,正确的方法应该是用弧度或角度作为测度来解决问题.  3.测度是与等可能性相对应的  也就是说,测度必须能刻画每一个基本事件发生的等可能性.问题3的矛盾非常明显地体现了这种对应性,事件“AM的长小于AC长”

7、的随机性是由点M等可能出现在AB上产生,对应的测度应该是长度.对于解法二,用角度作为测度,应该与下面的问题中随机性相对应.  在等腰直角△ABC中,过直角顶点C在∠4ACB的内部随机作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM  对于这个例子,点M是由射线CM在∠ACB的内部等可能出现产生的,只有角度才能反映这种等可能性.对等可能的理解是几何概型教学中的一个难点,实际教学中没必要在文字上多做解释.概念教学中可多搜集这样的反例,通过对比、鉴别以加深对这一点的理解.也可以借助计算机软件,恰当设计一些例子,让这一问题直观化,像文

8、[2]中用几何画板设计动画加深学生理解的做法很值得我们借鉴.  参考文献:  [1]高峰.两类几何概型问题的辨析[J].高中数学教与学,2007(11).  [2]昌明.对一道课本几何概型习题讨论引出的思考[J].数学教学,2008(09).  [3]胡典顺.例谈几何概型[J].中学数学,2007(07).  [4]

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