高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数i2_8函数与方程课件文

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1、第8讲　函数与方程考试要求函数的零点与方程根的关系，一元二次方程根的存在性及根的个数的判断，B级要求．知识梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使的实数x叫作函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．f(x)＝0x轴零点(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b

2、)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．f(a)·f(b)＜02．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与x轴的交点无交点零点个数两个一个零个(x1,0)，(x2,0)(x1,0)诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　)(3)

3、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)(4)当x>0时，函数y＝2x与y＝x2的图象有两个交点．(　　)解析(1)函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标，故(1)错；(2)函数f(x)＝x2在区间(－1,1)内有零点，且函数图象连续，但f(－1)·f(1)>0.答案(1)×(2)×(3)√(4)√3．(2015·安徽卷改编)在函数①y＝cosx；②y＝sinx；③y＝lnx；④y＝x2＋1中，既是偶函数又存在零点的是________(填序号)．解析由于y＝

4、sinx是奇函数；y＝lnx是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cosx是偶函数又有零点．答案①答案　3答案　(1)1　(2)4规律方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数．(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．规律方法已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1

5、)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．考点三　二次函数的零点问题【例3】已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．规律方法解决与二次函数有关的零点问题

6、：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【训练3】已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．解　法一设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1

7、图，则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得a2＋a－2＜0，∴－2

8、是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．