高等数学中几种极限的特殊求法分析

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1、高等数学中几种极限的特殊求法分析　　摘要：极限概念贯穿于高等数学始终，是建立连续、导数、积分、无穷级数等其他概念的重要基础，是正确理解微分与积分的前提。在掌握极限的定义和极限运算法则的基础上，系统分析不同类型极限问题的计算方法，重点研究已有三种类型的极限求法，用比较简单的方法解决。　　关键词：高等数学；等价无穷小；定义法；极限；特殊法　　多年教学实践表明，凡是高等数学学习吃力的学生，多数属于对极限概念理解不透彻。因此，数列极限概念的学习是至关重要的。数列极限概念的教学难点极限概念难以理解、掌握的原因在于：概念在教学这过程中涉及“任意”“给定”“无限接近”“

2、存在”“趋向”等较抽象的术语。例如：当x→0时，sinx～x，tanx～x，1-cosx～■x2，ln（1+x）～x　　一、极限的和（差）做等价无穷小替换　　在通常情况下，等价无穷小替换只能在作积（商）时才能使用，在其他情况下不能随便乱用；那么，等价无穷小的和（差）是否可以做等价替换？如果可以，那么，现在讨论在什么条件下等价无穷小的和（差）分别能做等价替换？　　定理1：设u（x），u1（x），v（x），v1（x），当x→？鄢为无穷小，u1（x）～u（x），v1（x）～v（x）且■■=A≠±1，则u1（x）±v1（x）～u（x）±v（x）　　证明：■■=■■

3、=■=17　　推论：设u1（x），u11（x），u2（x），u22（x），…un（x），unn（x）当x→？鄢为无穷小时　　u00（x）～u0（x），u11（x）～u1（x），u22（x）～u2（x）…unn（x）～un（x），且■■=A1≠±1，■■=A2≠±1，■■=An≠±1，则u00±u11±u22±…unn～u0±u1±u1±…±un　　证明：■■=■=■=1　　下面我们来看几个例子：　　例1.I1=■■如果用洛必达法求得正确解为■，若用等价无穷小代替得错解即I1=■■=■（因为当x→0时，exsinx～xex　　例2.I2=■■=■■=■■=1

4、，若用等价无穷小替代得错解I2=■■=2（因为■■=-1不满足定理1的条件）　　例3.I3=■■=■■=0（错解，因为■■=1，正确解法请见华东师大数学分析第62页。）　　例4：I4=■■=■■=■■=-■　　从例1、2、3我们可以观察到：它们都不满足定理1的条件即它们不满足互不等价；而例4满足定理1的条件，即可作等价无穷小替换的那两个式子互不等价。所以，两个（多个）无穷小做和（差）替换满足的条件是它们分别作无穷小的等价替换的式子不等价。因此，和（差）作等价无穷小替换是有严格的条件要求的，不可以随便作等价无穷小替换，否则，将会出现错误的结论。　　二、统一了

5、两个重要极限的1∞型极限的快速、准确求法　　先来看一个“1∞”型的例子，求■（cosx）■这是一个1∞7型极限。我们用取对数的方法来解这一题。作恒等变形为（cosx）■=e■，则■■lncosx=■■=■■=-■，所以■（cosx）■=e■　　请认真仔细观察这个解题的过程，我们会发现并能总结得到求1∞型极限的一半步骤：　　1.判断■uv是否为1∞型极限　　2.若是1∞型　　则（1）令■uv=ea　　其中a=■（u-1）v　　所以■uv=ea　　这样，我们把两个重要极限统一到1∞型上来讨论，减少了其中的恒等变形，形式变得简单，统一了解题方法，不但好记而且解题

6、准确率高，因此，用这种方法解决某些较难的1∞型极限从而变得轻而易得。　　例1.■（■）■　　解：令■（■）■=ea，则a=■（■-1）■■=■（■）■■=■■=■■=■　　∴■（■）■=e■　　例2.■（1+■+■）n　　解；令■（1+■+■）x=ea，则a=■（1+■+■-1）x=■（1+■）=1　　∴■（1+■+■）x=e，由此可得，■（1+■+■）n=e　　例3.■cosn■　　解：令■cosx■=■（cos■）x，令■（cos■）x=ea则a=■（cos■-1）?x=■■?x=-■7　　∴■cosx■=■∴■cosn■=■　　例4.计算■■　　解：

7、由于■■=■（cos■）■，令■（cos■）■=ea，则a=■（cos■-1）■=-■■（■）2?■=-■　　∴■■=■　　例5.计算■■　　由于■■=■（1+x2ex）■，令■（1+x2ex）■=ea，则a=■（1+x2ex-1）?■=■x2ex?■=■x2?■=2　　∴■■=e2　　从中可以看出这种解题方法的优越性：不但思路清晰，步骤简单，而且对比较困难的题也容易得出结果，因此，熟练掌握后既能提高正确率，又能提高解题速度。　　三、在某些情况下，用定积分的定义求极限，但是在有些情况下，若函数不能直接转化为（*）式，也就不能直接运用（*）式计算，因此要解决

8、这个问题，我们要引用一个习题的结论，把它作为定理来用　　若f（x）