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1、高等数学中几种极限特殊求法研究摘要：极限概念贯穿于高等数学始终，是建立连续、导数、积分、无穷级数等其他概念的重要基础，是正确理解微分与积分的前提。在掌握极限的定义和极限运算法则的基础上，系统分析不同类型极限问题的计算方法，重点研究已有三种类型的极限求法，用比较简单的方法解决。关键词：高等数学；等价无穷小；定义法；极限；特殊法多年教学实践表明,凡是高等数学学习吃力的学生，多数属于对极限概念理解不透彻。因此，数列极限概念的学习是至关重要的。数列极限概念的教学难点极限概念难以理解、掌握的原因在于：概念在教学这过程中涉及“任
2、意”“给定”“无限接近”“存在”“趋向”等较抽象的术语。例如：当X—0时，sinx〜x,tanx〜x,l-cosx〜・x2,In(1+x)〜x一、极限的和（差）做等价无穷小替换在通常情况下，等价无穷小替换只能在作积（商）时才能使用，在其他情况下不能随便乱用；那么，等价无穷小的和（差）是否可以做等价替换？如果可以，那么，现在讨论在什么条件下等价无穷小的和（差）分别能做等价替换？定理1:设u（x）,ul（x）,v（x）,vl（X）,当x~?鄢为无穷小，ul(x)〜u(x),vl(x)〜v(x)且・■二AH±1,贝Hul(
3、x)±vl(x)〜u(x)±v(x)证明：■■二■■二■二1推论:设ul(x),ull(x),u2(x),u22(x),•••un(x),unn(x)当x~?鄢为无穷小时uOO(x)〜uO(x),ull(x)〜ul(x),u22(x)〜u2(x)・・・urm(x)〜un(x),且・■二A1H±1,■■二A2H±1,■■二AnH±l,贝Hu00±ull±u22土…unn〜uO±ul±ul±••-±un证明：■■二■二■二1下面我们来看几个例子：例1.11二・■如果用洛必达法求得正确解为■,若用等价无穷小代替得错解即11
4、=■■二■(因为当x-0时，exsinx〜xex例2.12二■■二■■二■■=1,若用等价无穷小替代得错解12二■■=2(因为■■=-1不满足定理1的条件)例3.I3=HH=HH=0(错解，因为■・=1,正确解法请见华东师大数学分析第62页。)例4：14二■■二■■二■■二-■从例1、2、3我们可以观察到：它们都不满足定理1的条件即它们不满足互不等价；而例4满足定理1的条件，即可作等价无穷小替换的那两个式子互不等价。所以，两个(多个）无穷小做和（差）替换满足的条件是它们分别作无穷小的等价替换的式子不等价。因此，和（差
5、）作等价无穷小替换是有严格的条件要求的，不可以随便作等价无穷小替换，否则，将会出现错误的结论。二、统一了两个重要极限的18型极限的快速、准确求法先来看一个“1°°"型的例子，求・（COSX）■这是一个18型极限。我们用取对数的方法来解这一题。作恒等变形为（cosx）■二则・■lncosx二■■二■■二-所以■（cosx）■二e・请认真仔细观察这个解题的过程，我们会发现并能总结得到求loo型极限的一半步骤：1•判断-UV是否为18型极限2.若是1°°型则（1）令・uv=ea其中a=H（uT）v所以■uv=ea这样，我们
6、把两个重要极限统一到18型上来讨论，减少了其中的恒等变形，形式变得简单，统一了解题方法，不但好记而且解题准确率高，因此，用这种方法解决某些较难的18型极限从而变得轻而易得。例1.■（■）■解：令■(■)■二ea,则&=■(■-1)■■=■(■)・••■(■)■二e・例2.■(1+・+・)n解；令・(!.+■+■)x二ea,则(l+・+・T)x=H(1+・)=1・••■(】+■+■)x二e,由此可得，■(】+■+■)n二e例3.■cosnH解：令・cosx■二■(cosB)x,令・(cosB)x二ea则a二■(cosB
7、-1)•x=l■•x二-■•I・cosx■二■二・cosn■二■例4•计算■■解：由于■■二■(cosB)■,令・(cosB)B=ea,则(cosH-1)■=-■■(■)2-■=-■例5.计算■■由于■■二■(l+x2ex)■,令・(l+x2ex)B=ea,则a=H(l+x2ex~l)•■二・x2ex•■二・x2•■二2・••■■二e2从中可以看出这种解题方法的优越性：不但思路清晰，步骤简单，而且对比较困难的题也容易得出结果，因此，熟练掌握后既能提高正确率，又能提高解题速度。三、在某些情况下，用定积分的定义求极限，但
8、是在有些情况下，若函数不能直接转化为(*)式，也就不能直接运用(*)式计算，因此要解决这个问题，我们要引用一个习题的结论，把它作为定理来用若f(x)在[a,b]上可积，则可对区间[a,b]用某种特殊的划分方法，运用定义法得到一种极限和式，如果这种和式可以通过变形即■(n)(x)dx-(?鄢)，这种转化就是我们通常所熟悉求定积分的方法。下面我们来
