一道月考题的解法与探究

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1、一道月考题的解法与探究　　题目展示　　过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作不垂直于x轴的直线，交抛物线于M，N两点，线段MN的中垂线交x轴于R，则=　　解法1：设直线MN的方程为y=k（x-）（k≠0）　　代入y2=2px（p>0），　　消去x得kx-（2k+2p）x+=0　　设M（x1，x2），N（x2，y2），则x1+x2=x?x=　　由抛物线的定义知MN=x+x+p=+p=，又线段MN中点Q（，）　　∴线段MN的垂直平分线的方程为y-=-（x-）　　令y=0，解得x=，即R（，0），　　∴FR=　　所以=　

2、　解法2：设直线MN的方程为x=ky+（k≠0）　　由x=ky+y=2px得y2-2pky-p2=0　　设M（x1，x2），N（x2，y2），则y1?y2=-p2，y1+y2=2pk　　所以MN=2p（1+k）　　∴线段MN中点Q（pk2+，pk）　　∴线段MN的垂直平分线的方程为y-pk=-k（x-pk2-）　　令y=0，解得，即R（pk2+，0），3　　∴FR=p（k2+1）　　所以=　　解法3：（利用直线的参数方程）设直线MN的倾斜角为α（α≠0且α≠），　　则直线的参数方程为x=+tcosαy=tsinα（t

3、为参数）　　代入得y2=2px（p>0）得t2sin2α-2ptcosα-p2=0，t1+t2=，t1?t2=-　　MN=t-t=FQ==　　FR==　　所以=　　解法4：（利用平面几何知识）　　设直线MN的倾斜角为α（α≠0且α≠），过M，N分别向准线作垂线，垂足分别为A，B，过N向线段AM作垂线，垂足为C　　设MF=m，NF=n，则MN=m+n，MA=m，NB=n，MC=m-n　　在Rt△MNC中，cosα==，FQ=-n=　　在Rt△FQR中，cosα=所以FR==　　所以==　　我们可以得到以下结论：　　结论

4、1：过椭圆+=1（a>b>0）右焦点F作一条不垂直于坐标轴的直线，与椭圆交于M，N两点，线段MN的中垂线交x轴于R，则=（e为椭圆离心率）　　结论2：过双曲线-=1（a>03b>0）右焦点F作一条不垂直于坐标轴的直线，与双曲线交于M，N两点，线段MN的中垂线交x轴于R，则=（e为双曲线离心率）　　结论3：过圆锥曲线焦点焦点F作一条不垂直于坐标轴的直线，与曲线交于M，N两点，线段MN的中垂线交对称轴于R，则=（e为曲线离心率）　　（作者单位：黑龙江省大庆实验中学）3