对数学问题链的再认识与实践

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1、对数学问题链的再认识与实践　　问题是数学的心脏，这是人们对数学发展史的高度概括，对数学本质的深刻认识。1900年8月5日，德国数学家希尔伯特（DavidHilbert，1862～1943）在巴黎国际数学家大会上所作的演讲。其中最令人瞩目的是，整个演讲的主题，是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题，而演讲也以“数学问题”而命名。一百多年来，这些问题一直激励着数学家们浓厚的研究兴趣，为数学的发展起了重要的推动作用。　　由此看来，问题是引导研究的，提出问题是科学研究思想方法的起步，寻找和发现数学问题，是获得数学发现和进行数学思维的基本方法之一。　　一、数学问题与问题链　　在认

2、知心理学中，“问题”（Problem）是指一个人在有目的待追求而尚未找到适当手段时所感到的心理困境。因而，问题的存在与否依赖于人已有的认知能力。“问题”还可以被视为一个系统，好某个人而言，若一个系统的全部元素、元素的性质和元素间的相互关系中至少有一个是未知的，那么这个系统被称为不稳定系统即问题系统，反之，则称该系统为稳定系统即非问题系统。在问题系统中。如果确立了一个或一个以上未知要素，那么该系统就成为一个问题。可见，问题是确立了一个或一个以上未知要素的系统，问题的存在因人而异，具有相对性。　　数学问题是指“以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题”。7　

3、　数学问题的提出是一个发现和产生数学问题的过程。在这个过程中，主体通过对数学情境基本构成要素的观察、分析，深入挖掘隐藏于其中的数学关系，大胆置疑，大胆猜想，并确定新的未知构成要素，即提出一个新的数学问题。因而，数学问、题提出便是把一个数学问题情境变成一个新的数学问题情境的过程。这是一个发现，探索和创新的过程，借用这个过程，可以使学生进一步认识和理解数学。　　面对数学问题，当我们通过对它进行深化、推广、引申、综合，从而发现矛盾和缺陷（问题所在），探索到新的发展规律（需要论证的问题），或找到了问题与问题之间的新的联系时，这就是形成“问题链”的开始。通过这种过程的不断深化和逐次推进而找到的，具有内在

4、联系的若干问题，就形成了“问题链”。　　数学知识的内部结构，是一个纵横交错的命题链结构，或者是可以用类似于问题链的结构来描述和解释的（如学科知识链）。欧几里得的《原本》（Elements），是一个类似于命题链的以链结构形式表现的公理体系。它以5条公设为核心，通过逻辑演绎，把119个定义和464条定理链在了一起；还有由算术到初等代数到线性代数到抽象代数，则可以理解为学科知识链，等等。　　二、数学问题链的实践7　　问题与命题这2个概念，通常是在同样的意义下使用的。然而，提出问题仅是数学发现的开始，解决问题（证明其真实性）才是目的。因此，我们常把尚未解决的问题称为问题，而把论证了其真实性的命题称为真

5、命题。下面所提到的命题这一概念是在能形成定理的意义下使用的，但是由于略去了证明过程，因此仍视为问题。　　（一）推广链　　推广是事物发展所遵循的规律之一。当我们从研究一个对象过渡到研究包含该对象的一个集合，或从研究一个较小的集合过渡到研究一个包含该集合的一个更大的集合时，就是推广，当我们对命题从层次和形式上作推广时，可以得到一些层次不同或形式相似的命题，它反映了数学对象之间的纵向或横向间的联系，可以拓广命题的外延表现形式并加深对命题内涵的认识。　　概念、体系、命题和方法的各个方面，都可以运用推广来进行教学。概念的学习分为上位学习、下位学习和并列学习3种方式。在上位学习中，我们可以运用推广的观点来

6、教学。　　命题的推广可以引导学生自己来做，命题链的形成在培养学生创新能力的同时很能给其以美的感受。笔者要学生将等差中项的性质进行推广，结果从a3+a5=2a4到an-1+an+1=2an，到an-k+an-k=2an，到am+an=as+at（其中m+n=s+t）再到（ai1+ai2+…+ain）/n=（aj1+aj2+…+ajm）/m（其中（i1+i2+…+in）/n=（j1+j2+…+jm）/m）串成了5级链。一位学生受到一些素材的启发先是得到（am+an）/2=（ax+ay+az）/3[其中（m+n）/2=（x+y+z）/3]。然后在教师的指导下终于得到上述命题链中最后的命题（只是在表达

7、上发生了困难），写成了小论文交给教师，很有创新的成就感。另外解题之后进行推广，不仅可以培养学生的创新能力，还能帮助学生洞察本质，提高认识、居高临下、跳出题海。例如证明不等式，当证了√3+√7<2√5，√2+√7<√5+√67　　又证√6+√7>2√2+√5，再变变数字还有多大意义呢？不如引导他们进行一般化。先可推广为：√a+√b

8、c-d

9、，更一般地可推广为√a1+√a2+…+√an>√b1+√b2