等高模型 鸟头定理 （一）

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1、年级五年级学科奥数版本通用版课程标题等高模型鸟头定理（一）编稿老师王刚一校林卉二校黄楠审核张舒几何问题的特点是知识点很少，但是变化无穷。学习本讲的关键是对定理的使用条件，定理能推出的结论要理解，准确对应，灵活应用。直线型重要面积模型：（1）等高模型（2）鸟头定理（3）任意四边形模型（4）梯形“蝴蝶”模型（5）相似模型（6）燕尾定理模型本讲学习前两个等高模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形的高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形的底相等，面积比等于它们的高之比；等底等高的两个平行四边形面积相等；三角形面

2、积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形的高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形的底相等，面积比等于它们的高之比。例1长方形的面积为36平方厘米，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？分析与解：过E作AD平行线，将三角形EHF分成两个三角形。这两个三角形可以拼成一个三角形，底是，高是AE。所以阴影面积相当于某个三角形面积，这个三角形的底是，高是AE。所以阴影部分面积占长方形面积的，即阴影部分面积为×36＝（平方厘米）。例2是边长为12的正方形，如图所示，是内部任意一点，、，

3、那么阴影部分的面积是__________。分析与解：由条件知LNMK构成平行四边形，所以阴影部分面积是平行四边形面积的一半。首先计算平行四边形面积为，所以阴影部分的面积是34。例3如图，有三个正方形的顶点、、恰好在同一条直线上，其中正方形的边长为10厘米，求阴影部分的面积。分析与解：连结BD，EG，KF，可以得到三角形DGE与三角形BEG面积相同，三角形KGE与三角形FGE面积相同，所以阴影部分的面积与正方形GBEF的面积相同，即阴影部分的面积是10×10＝100（平方厘米）。例4长方形的长是12厘米，宽是8厘米

4、，三角形的面积是32平方厘米，则___________厘米。分析与解：三角形CEF分为上下两个三角形，上面三角形的底可看做是FO，高可看做AF；下面三角形的底可看做是FO，高可看做是BF。所以三角形的面积相当于底是FO，高为AB＝8厘米的三角形面积，而已知三角形的面积是32平方厘米，所以OF＝＝8（厘米），OG＝12－8＝4（厘米）。例5如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS的面积之比。分析与解：我们把四边形AFCH和BEDG看成两张纸片。如果这两张纸片的

5、面积和等于四边形ABCD的面积，又分别被四边形ABCD覆盖，那么纸片重叠部分的面积应该等于阴影部分的面积。下面来说明每一张纸片面积都是四边形ABCD面积的一半。如图，连结AC，将其中一张纸片分为B、C两部分，根据等底等高面积相等可得出A＝B，C＝D。这样这张纸片的面积就是四边形ABCD面积的一半，用同样的方法可以求出另一张纸片的面积也是四边形ABCD面积的一半。所以阴影部分与四边形PQRS的面积之比为1∶1。（答题时间：30分钟）1.如图所示，两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，那么图中阴影部分三角形的面积是多

6、少平方厘米？2.公园里有一个平行四边形花坛，把这个花坛分成了四部分，现已知三部分的面积，你能根据它们的关系求出第四部分的面积吗？3.如图所示的平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。4.如图所示，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E，F，G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积。5.如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的边长BG为10厘米，那么长方形的

7、宽为几厘米？1.解：阴影部分的三角形可看作底和高都是小正方形边长的三角形，所以阴影部分三角形的面积是4×4÷2＝8（平方厘米）。2.解：从题图中我们可以看出面积是6平方米和18平方米的小平行四边形中，它们的底相等，所以面积的比就是高的比，即18∶6＝3∶1，而面积是24平方米的平行四边形和所求部分的底也相等，高的比也是3∶1，所以面积比也是3∶1，即所求面积是24平方米的3倍，所以所求第四部分的面积为24×3＝72（平方米）。3.解：三角形ABG和三角形DCF可以看作底是AG＋DF、高是CF的三角形，如图所示，即

8、阴影部分的两个三角形可以拼成一个大三角形，而两块阴影部分的面积和与三角形EFG的面积之差可以看作长方形的面积和三角形BCE的面积之差，即10×CF－×10×8＝10，CF＝5，所以CF的长是5厘米。4.解：如图，连结BH，HC，结合已知条件可以知道三角形AEH和三角形BEH面积相等，三角形BHF和三角形FCH面积相等，三角形DGH和三角形CGH面积相等，所以长方形ABCD