等高模型 鸟头定理（二）

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1、年级五年级学科奥数版本通用版课程标题等高模型鸟头定理（二）编稿老师王刚一校林卉二校黄楠审核张舒鸟头定理可以用来计算两个三角形的面积比，还可以按照比例在三角形中计算各个图形的面积。适用场合是：两个三角形有一个顶点重合，且两三角形在该顶点的所在角相等或互补，常见的是相等。共角三角形：两个三角形中有一个角重合或共顶点且互补，这两个三角形叫做共角三角形。鸟头定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如图，在中，分别是上的点（适用于以下两个图），则。应用鸟头定理的关键：从图形中确定

2、角对应的夹边。例1如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使。求三角形的面积。分析与解：从图中可以看出，三角形ABC与三角形EFC构成背靠背的图形，适合用鸟头定理来解，由题中给出的数量关系可以求出这两个三角形的面积比是1∶（1＋3）×2＝1∶8，用同样的方法可以求出三角形AFD的面积是三角形ABC面积的6倍，三角形BDE的面积是三角形ABC面积的3倍。所以三角形DEF的面积是三角形ABC面积的18倍，即三角形DEF的面积是18。例2如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是，求平行

3、四边形与四边形的面积比。分析与解：连结AC，BD。三角形ABC与三角形BEF构成共角模型，面积比是1∶3，三角形ABC的面积占平行四边形ABCD面积的一半，所以三角形BEF的面积是平行四边形ABCD面积的1.5倍，用同样的方法可以求出三角形CFG的面积是平行四边形ABCD面积的4倍，三角形DGH的面积是平行四边形ABCD面积的7.5倍，三角形AEH的面积是平行四边形ABCD面积的4倍，所以四边形EFGH的面积是平行四边形ABCD面积的1.5＋4＋7.5＋4＋1＝18（倍），所以平行四边形与四边形的面

4、积比为1∶18。例3如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点，则四边形的面积等于。分析与解：过E作AD的平行线交BC于G，可以得到F是BE的中点。三角形BDF和三角形BCE构成共角模型，利用鸟头定理及题中的数量关系，得知三角形BDF和三角形BCE的面积比为1∶6，所以四边形DFEC面积占三角形BCE面积的，也就是占三角形ABC面积的，而三角形的面积是，所以四边形的面积等于。例4如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点。阴影部分的面积是多少平方厘米？分析与解：如图，过G作BE的平行线交DC

5、于H，得到G、H是BC、CE中点。长方形的面积是平方厘米，所以三角形DGC的面积就是0.5平方厘米。根据鸟头定理，三角形DFE的面积占三角形DGC面积的，也就是平方厘米，所以阴影部分的面积是（平方厘米）。例5如图，中，，，那么的面积是阴影三角形面积的倍？分析与解：为了便于分析，只在三角形内部保留两条线段，不画出第三条线段。把整体大三角形看做单位1，观察图中A、B、C三个三角形的面积。得到B是A面积的2倍，C是A＋B面积的2倍，也就是A面积的6倍。而A＋C＝，所以C是整体的，所以空白部分是整体的，所以

6、的面积是阴影三角形面积的7倍。（答题时间：30分钟）1.如图所示，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形BDE的面积是多少？2.如图所示，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3，AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？3.如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA＝AB，CB＝BF，DC＝CG，HD＝DA，求四边形ABCD的面积。4.如图所示，AD＝DB，AE＝EF＝FC，已知阴影部分的面积是5平方厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米？5.如图所示，B

7、C＝45，AC＝21，三角形ABC被分成9个面积相等的小三角形，那么DI＋FK是多少？1.解：因为AE＝3AB，所以BE＝2AB，由鸟头定理可得＝4:1，所以三角形BDE的面积是4。2.解：连结AD，因为BE＝3，AE＝6，所以AB＝3BE，。又因为BD＝DC＝4，所以，所以，即乙部分的面积是甲部分面积的5倍。3.解：连结BD，结合已知条件应用鸟头定理可以得到三角形CFG面积是三角形DCB面积的2倍，三角形AEH面积是三角形ABD面积的2倍；连结AC，利用鸟头定理可以求出三角形BEF面积是三角形AB

8、C面积的2倍，三角形DGH面积是三角形ADC面积的2倍，所以四边形EFGH面积是四边形ABCD面积的5倍，所以四边形ABCD的面积是＝（平方米）。4.解：连结CD，利用鸟头定理可得三角形ADF的面积是阴影部分面积的2倍，三角形ADC的面积是三角形ADF面积的1.5倍，三角形ABC的面积是三角形ADC面积的2倍，所以三角形ABC的面积是阴影部分面积的6倍。所以三角形ABC的面积是5×6＝30（平方厘米）。5.解：利用鸟头定理可得，而BC＝45，所以BD＝10，DC＝45