解读复合函数的单调性

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1、解读复合函数的单调性　　【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2013）01-0163-02　　复合函数y=f[g（x）]的单调性问题是高中数学函数部分的一个难点。原因在于它是由两个简单函数u=g（x）与f（u）复合而成，所以其单调性也与这两个简单函数的单调性紧密相联。由于复合函数的单调性不仅能考查学生对函数定义域、值域的理解及求法，还常常通过对函数其它基本性质（如奇偶性，周期性等）与不等式有机结合起来考查学生的分析问题、解决问题能力，因此有关复合函数的单调性问题是近几年高考的重点题型之一。　　复合函数就其出现的形式而言不外乎两种：一是具体型复合函数；二是抽

2、象型复合函数。本文就复合函数这两种形式对其单调性问题给予粗浅的分析。　　复合函数y=f[g（x）]的单调性规律：“同增异减”。即f（u）与u=g（x）若具有相同的单调性，则f[g（x）]为增；若具有不同的单调性，则f[g（x）]为减。但究竟为什么是这样呢？多数学生却不知所以然。下面通过一个引例首先解决这个问题：　　例1讨论函数y=（）的单调性　　解析：令t=x2-2x-1，则y=（）t，因此原函数是由y=（）t及t=x2-2x-1=（x-1）2-2复合而成，中间量为t。∵y=（）t在上为减函数：4　　具体来说：首先，当x∈（1，+∞）时，随x增大→t增大（图1）；t增大同时→y减小（图2），综

3、合考虑就是：y随x的增大而减小。所以当x∈（1，+∞）时，函数y=（）为减函数，这就是复合函数单调性规律：“同增异减”中的“异减”；然后，当x∈（-∞，1）时，随x增大→t减小（图1）；t增大同时→y增大（图2），综合考虑就是y随x的增大而增大。所以当x∈（1，+∞）时，函数y=（）为减函数，这就是复合函数单调性规律：“同增异减”中的“同增”。　　点评：求复合函数单调性：⑴首先求出复合函数定义域：⑵然后把复合函数分解成两个简单的基本函数，并判断其单调性，最后利用“同增异减”判断。　　一、具体型复合函数　　所谓具体型复合函数是指给出了复合函数具体的解析式（如例1）　　1利用复合函数单调性规律解决

4、复合函数单调性　　（详解见例1）　　2利用图象确定复合函数单调区间　　例2已知函数y=，利用图象求其单调区间；　　解析：y==y=　　画出草图如右图，其单调性一目了然；　　3已知复合函数单调性求参数　　例3是否存在实数α，使函数f（x）=logα（αx2-x）在区间[2，4]上是增函数，若存在，说明α可能取那些值；若不存在，说明理由；　　解析：假设存在实数α使f（x）在[2，4]上是增函数，则令t=α4x2-x，则y=logαt=α（x-）2-，然而当x∈[2，4]时，t>0，　　若α>1，则在[，+∞）上，t为增；y=logαt在[2，4]上为增，则解α>1且4α-2>02≥得α>1。若0<

5、104≤无解　　综上所述：当α>1时，函数f（x）=logα（αx2-x）在区间[2，4]上是增函数。　　点评：若已知单调区间，说明此区间为定义域的一个子区间。　　二、抽象型复合函数　　所谓抽象型复合函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一些性质（如函数定义域、经过的特殊点、解析递推式、部分图象特征）或运算法则的函数。　　例4函数f（x）（x∈R）的图象如图所示，函数y=f（logαx）（0<α<1）的单调减区间为（）　　解析：因y=f（logαx）为复合函数，所以令t=logαx，则y=f（t），由0<α<1，则t为减函数，因此要使y=f（logαx）增，必使f（t）是增，　　

6、点评：明确f（t）中t的取值范围，0≤t≤；　　例5f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对任意正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立，则不等式f（log2x）<0的解集是____；　　解析：要解不等式f（log2x）<0，必须脱掉“f”，因此须借助f（xy）=f（x）+f（y）求出f（x）=0时的自变量值，而f（1×1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，∴f（log2x）0。4　　相关练习：　　1若函数y=log2（x2-2αx+8）在（-3，2]上单调递减，则实

7、数的取值范围（）　　A[2，+∞）B[1，+∞）C[2，3）D[2，3]　　2函数y=f（x）（x∈R）的图象如图，则函数g（x）=f（logx）单调减区间为（）　　A1，B，1　　C（1，2]和[+∞）D（-∞，1）和[+∞）　　3函数y=logα（x2-αx+2）在[2+∞）恒正，则实数α的取值范围（）　　A0<α<1B1<α<2C1<α