高一阶段函数与方程思想的渗透

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1、高一阶段函数与方程思想的渗透　　摘要：数学思想是数学活动的指导思想，数学活动的一般概括.它从整体和思维的更高层次上指导学生有效地认识数学的本质，运用数学知识发现、完善数学知识结构，探寻解题的方向和途径.函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系.函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系，丰富并优化数学解题活动.　　关键词：函数思想方程思想函数与方程思想高一数学教学　　高中阶段的数学用到的基本思想有：函数与方程思想，分类讨论思想，转化与化归思想，数形结合思想.而其中的函

2、数与方程思想是每年高考的热点之一，高中阶段第一次出现在苏教版必修一的第三章.所以深入研究函数与方程思想对学好数学起非常大的作用.　　函数思想，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图像和性质分析问题，达到转化问题的目的，从而使问题获得解决的思想；方程思想，就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型――方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想.5　　函数与方程是密不可分的，函数y=f（x）中的f（x）如果为0，

3、就可以转化为方程f（x）=0.函数与方程思想就是把函数问题转化为方程问题，例如求函数的零点可以转化为求对应方程的根，或者把方程问题转化为函数问题来解决，例如求方程的根的个数可以转化为求两函数交点的个数.苏教版必修一的第三章引入的函数与方程思想，主要体现在求方程f（x）=0的实数根，就是确定函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标，即函数y=f（x）的零点；求f（x）=g（x）的根或根的个数就是求函数y=f（x）与y=g（x）图像的交点或交点个数.　　一、函数思想　　所谓函数思想，就是在根据已知条件构造函数，通过研究函数的单调性、奇偶性等性质，解决问题

4、的思想.　　1.构造函数，利用函数的性质答题.　　例1：（1）比较大小：lg15；lg6；6■，8■；（2）证明方程x?2■=1至少有一个小于1的正实根.　　分析：（1）分别构造函数y=lgx和y=x■，利用其单调性比较大小；（2）构造函数f（x）=x?2■-1，验证f（0）?f（1）的符号即可.　　解：（1）构造函数y=lgx，其在（0，+∞）内是单调增函数，因为15>6，所以lg15>lg6；构造函数y=x■，其在（0，+∞）内是单调增函数，因为6>8，所以6■>8■；（2）令f（x）=x?2■-1，则f（x）的图像在R上是一条连续不间断的曲线.

5、所以，f（0）=0×2■-1=-10.所以f（0）?f（1）<0，所以f（x）=x?2■-1在区间（0，1）内至少有一个零点，即方程x?2■=1至少有一个小于1的正实根，得证.5　　点评：解有关不等式、方程、比大小的问题，可以通过构造函数关系式，借助函数的图像和性质，使问题更直观形象，充分利用数形结合、函数方程思想，为以后的学习奠定基础.　　2.利用函数思想解答有关实际应用题.　　例2：某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特地修了一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每日

6、能来回10次.若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，每节车厢能乘载乘客110人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数.　　分析：建立目标函数，再求函数的最值.　　解：设每日来回y次，每次挂x节车厢，由题意，再设y=kx+b（k≠0），　　方程组16=4k+b10=7k+b，k=-2b=24，所以y=-2x+24.　　由题意知，每日运营车厢节数最多时，运营人数最多，设每日运营S节车厢，则S=xy=x（-2x+24）=-2（x-6）■+72，所以当x=6时，S■=72，此时y=12.　　则每日最多运营人数为792

7、0人.　　答：这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920人.　　点评：通过建立函数解决实际问题要注意定义域，根据定义域来求函数的最值.　　二、方程思想　　通过换元，构成已经学过的方程求解.5　　例3：关于x的方程9■+a?3■+3=0恒有解，求a的取值范围.　　分析：通过换元将其变为一元二次方程恒有正根的问题，同时利用韦达定理解题.　　解：设3■=t，则t>0.由题意得，方程t■+a?t+3=0有正根，　　所以Δ≥0x■+x■=-a>0x■x■=3>0即a■-4×3≥0a<0，所以a≤-2■.　　点评：对于类似于一元二次方

8、程的复杂方程，可以通过换元将问题转化为已学过的方程求解.　　三、函数方程思想　　有的题目需要根据函数与方程之