高一函数与方程的思想

《高一函数与方程的思想》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、三、函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程

2、是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌

3、握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的

4、不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。Ⅰ、再现性题组：1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)2.如果函数f(x)＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那

5、么_____。A.f(2)

6、__。【简解】1小题：图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C；2小题：函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A；3小题：从反面考虑，注意应用特例，选B；(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0；4小题：设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t－t－1∈[－,1]，所以答案：[－,1]；5小题：设长x，则宽，造价y＝4×120＋4x×80＋×80≥1760，答案：1760。Ⅱ、示范性题组：例1.设a>0，a≠1，试求方程log(x－ak)＝log(x－a)有实数解的

7、k的范围。(89年全国高考)【解】将原方程化为：log(x－ak)＝log，等价于（a>0,a≠1）yCC-ak-aax一种解题思路是采取“数形结合法”：将原方程化为：log(x－ak)＝log，等价于x－ak＝(x－ak>0)，设曲线C：y＝x－ak，曲线C：y＝(y>0)，如图所示。由图可知，当－ak>a或－a<－ak<0时曲线C与C有交点，即方程有实解。所以k的取值范围是：k<－1或0ak，即－k>

8、0，通分得<0，解得k<－1或0m(x－1)对满足

9、m

10、≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。【分析】此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的