应用apos理论进行数学概念教学

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1、应用APOS理论进行数学概念教学　　摘要：本文对教学中存在的一些错误现象进行了归因分析，指出学生学习数学概念要经历四个心理建构阶段：操作阶段，过程阶段，对象阶段，概型阶段，阐述了数学知识形成规律可成为教学策略导向的原理.　　关键词：数学概念；APOS理论；心理建构.　　一、问题提出　　学生在初学代数式时，常出现：a+a+a×2=3a×2，25x?4=21x，5yz-5z=y等情况.同样，在后续学习中，教师也会注意到类似问题.比如，学生在学习解方程时，会出现“连等”的现象，如解方程6x?3=3x+9，学生很容易把解方程过程写成：6x?3=

2、3x+9=6x-3x=9+3=3x=12=x=4.还有在学习解下面问题“已知x1、x2是方程ax2+bx+c=0的根，求x12+x22的值”时，学生会认为是求平方和的运算，想通过求x1、x2再代入求值，不习惯把x12+x22变形为（x1+x2）2?2x1x2再根据韦达定理求值，等等.　　以上现状说明，学生对所学概念并不能真正理解.如在a+a+a×2=3a×2中，是学生缺少进行必要的“活动”，造成“过程”的体验不完整.在6x?3=3x+9=6x-3x=9+3=3x=12=x=4中，说明学生还停留于运算过程层面.对方程对象的结构特征不理解等

3、.而在求x12+x22的问题中，说明学生还不能从深层次上认识根与系数的关系，不能将知识活学活用.　　限于篇幅，本文仅针对以上三例中的“连等”6现象进行分析，其基本原因就是对等号概念的理解问题.学生在这个阶段并没有从根本上理解等号的意义.因为在数学学习中，学生一般会把3+5中的“+”看作实行加法操作的一个指令，看到3+5学生就会想到要进行加法计算，也就是把3+5看作是一个计算或者是一个潜在的计算过程.学生认为等号就是表明等号前面的式子的运算结果是后面的答案，也就是说在学生原有认知结构中，等号的意义仅仅是一个引导运算过程的符号，在等号两边的

4、式子的地位并不对称、不平等的.没有把等号当做静态的表示相等关系，只是把等号当做是一个“指令”的运算符号，认为它的作用就是一个运算过程的“指令”.那么学生在解方程时，每一步的方程变形就会被认为是运算的结果，所以就用等号来连接.这就是学生没有建构起关于等号的最本质特征，所以没有把等号看成一个具有平等性、传递性、对称性的数学对象，只把等号看成一个操作“指令”.　　以上分析说明，等号在运算过程中的意义和在方程中的意义是截然不同的.前者有潜在的动态含义，具有方向性.后者是无方向性，静止的，具有对称性.因此从另一个方面讲，更深层的原因在于学生对方程

5、概念的结构特征不理解.　　二、APOS理论模型　　APOS理论是美国杜宾斯基等人在数学教育研究中发展起来的，对指导学生数学概念学习有一定启示作用.他认为，学生数学概念学习是要进行心理建构的，认为建构过程要经历四个阶段：第一阶段――操作（Action）阶段，第二阶段――过程（Process）阶段，第三阶段――对象（Object）阶段，第四阶段――概型（Scheme）阶段.取这4个阶段英文单词的首字母，定名为APOS理论.6　　三、APOS理论在数学概念学习中的应用　　APOS理论可以应用于数学概念学习过程的研究，也就是对学生在数学学习过程

6、中思维活动的研究，认为学习数学概念要经过的四个阶段，即“活动”、“过程”、“对象”和“概型”.从数学学习心理学分析，上述四个学习层次分析是合理的.下面以若干概念的教学设计，阐述APOS理论在概念教学过程中的指导作用.　　1.数学概念理解是预备期――活动阶段　　只有“活动”才能让学生亲身体验到概念的直观背景，才能感受概念间的关系，才能让学生理解概念的感性材料.主要途径有：　　（1）充分利用教材设置的情境，为引入概念作准备　　为了引入方差的概念，人教版代数第三册第167页有一则引例：为了比较甲、乙两台机床生产的零件的平均直径等于规定尺寸时，

7、教师适时提出：能否肯定两台机床性能一样稳定，让学生造成认知上的“冲突”，激发求知欲望.然后为了帮助学生理解，教师介绍现实背景材料：实际生产中，对产品的尺寸的偏差是有限制的.经质询工厂质检部门，标准是：零件直径与规定尺寸偏差不超过0.1毫米时，可视为合格，超过0.1毫米时，视为不合格.那么甲、乙两台机床合格产品各多少件？不合格产品各多少件？试问，哪台机床性能更稳定？通过设置生动形象的问题，图文并茂引导为引入方差做好知识上、心理上的准备.　　（2）利用身边的实例，为建立概念获得感性材料　　为了建立“直线与平面垂直”6的概念，先引导学生观察两

8、堵墙的交线与地面、电灯线与天花板、教鞭直立在桌面上等直线与平面垂直的实例.由学生从实例中得出直线与平面垂直的感性材料，在学生获得感性材料的基础上提出：直线和平面垂直应如何下定义？　　又如对于向量和的概念：已