竖直平面内的圆周运动分析

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1、竖直平面内的圆周运动及实例分析河南曹传涛竖直平而内的圆周运动i般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以-•般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置——故高点和最低点。一、两类模型——轻绳类和轻杆类1.轻绳类如图1所示，运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的

2、向心力全部由质点的重力來提供，这时有mg=加丄业,式屮的vinin=7F是质点通过最高点的最小速度，叫r临界速度；（3）质点过最高点的最小向心加速度a=g；（3）质点能通过坟高点的条件是v>vnin=,当质点的速度小于这一值时，质点将运动不到最高点。2.轻杆类如图2所示，运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，rh于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。所以质点过最高点的最小速度为零。（1）当卩=0时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力,

3、即FN=mg；（2）当八历时,Fn=0；（3）当v>y[gr,质点的亜力不足以提供向心力，杆对质点有指向恻心的拉力，拉力随速度的增人而增人；（4）当0莎时,质点的亜力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力,支持力随卩的增人而减小。二、可化为这两类模型的圆周运动竖直平而内的圆周运动一•般可以划分为这两类，如竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动,水流星的运动，过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平而内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为轻竖直平而内轻杆类圆丿制运动。

4、三、典例分析例1.如图3所示，位于竖直平血内的光滑有轨道，rti—段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，恻形轨道的半径为Ro一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始卞滑,然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5吨（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于I员I形轨道底部的高度h的取值范围。解析：设物块在圆形轨道绘高点的速度为v,由机械能守恒定律得丄9mgh=lingR+—mv~E3物块在最高点受的力为重力mg.轨道的压力尸并。重力与压力的合力提供向心力，有2mg+Fn=m—

5、—②R物块能通过最高点的条件是F,v>0③由②③式得v>斤④由①④式得H22.5R⑤山题意可知，Fn=5mg,山②式得V<$6gR⑥由①⑥式得hW5R⑦综上所述,可知h的取值范围是2.5RWhW5R例2.如图4所示，光滑管形恻轨道半径为R（管径远小于斤）固定，小球a、b大小相同，质量相同，均为加，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动.两球先后以相同速度％通过轨道最低点，>1•当小球日在最低点时，小球方在最高点，以卜-说法正确的是（）A.速度％至少为』5gR,才能使两球在管内做圆周运动B.当v｛）=^5gR时，小球方在轨道

6、最高点对轨道无压力C.当小球方在最高点对轨道无压力时，小球&比小球〃所需向心力大5mgD.只要v>^R,小球日对轨道故低点压力比小球b对轨道最高点压力都人6飓解析：内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零,由机械能守恒知吨2/?=*加％/得％所以A错误；当小球在最高点的速度I777Vv=甌,此时——=mg,即重力刚好能提供向心力，小球对轨道无压力，则由机械能R守恒m^2R+—mvQ2=—mv2nJ"得,小球在最低点的速度莎，所需的向心力222vm?VH71;F”=m一=5mg。B止确，C错误

7、；最高点片=一!——mg,最低点耳=2+‘RRRIO1Oing2R+—mv^=—inv2所以F2-F{=6mg,D止确。