奥数：第六讲找简单数列的规律

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1、第六讲找简单数列的规律　　日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：　　自然数：1，2，3，4，5，6，7，…（1）　　年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996（2）　　某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）　　45，45，44，46，45（3）　　像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项.如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项45。　　根据数列中项的

2、个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。　　研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。例1观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.　　①2，5，8，11，（），17，20。　　②19，17，15，13，（），9，7。　　③1，3，9，27，（），243。　　④64，32，16，8，（），2。　　⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…　　⑥1，3，4，

3、7，11，18，（），47…　　⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.　　⑧1，2，6，24，120，（），5040。　　⑨1，1，3，7，13，（），31。　　⑩1，3，7，15，31，（），127，255。　　(11)1，4，9，16，25，（），49，64。　　(12)0，3，8，15，24，（），48，63。　　(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.　　(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.　　分析与解答　　①不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：11＋3=14。　　②同①考虑

4、，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，即：13—2=11。　　不妨把①与②联系起来继续观察，容易看出：数列①中，随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列①是递增的；数列②中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，即数列②是递减的.但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似①②这样的数列，称为等差数列.　　③1，3，9，27，（），243。　　此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9=3×3，27=9×3.因此，括号中应填81，即81=27×3

5、，代入后，243也符合规律，即243＝81×3。　　④64，32，16，8，（），2　　与③类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后面一项的2倍，即：　　　　因此，括号中填4，代入后符合规律。　　综合③④考虑，数列③是递增的数列，数列④是递减的数列，但它们却有一个共同的特点：每列数中，相邻两项的商都相等.像③④这样的数列，我们把它称为等比数列。　　⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…　　首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=

6、3＋5.因此，括号中应填的数是13，即13=5+8，21=8+13，34=13+21。　　这个以1，1分别为第1、第2项，以后各项都等于其前两项之和的无穷数列，就是数学上有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列⑤的原型，因此，数列⑤又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。　　⑥1，

7、3，4，7，11，18，（），47…　　在学习了数列⑤的前提下，数列⑥的规律就显而易见了，从第3项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是29，即29=11＋18。　　数列⑥不同于数列⑤的原因是：数列⑥的第2项为3，而数列⑤为1，数列⑥称为鲁卡斯数列。　　⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）。　　方法1：继续考察相邻项之间的关系，可以发现：　　　　因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=1