奥数：第八讲 找规律

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1、第八讲找规律(三)数学家看问题，总想找规律．我们学数学，也要向他们学习找规律，要从简单的情况着手，仔细观察，得到启示，大胆猜想，找出一般规律，还要进行验证，最后还需要证明(在小学阶段不要求同学们进行证明)．例1沿直尺的边缘把纸上的两个点连起来，这个图形就叫做线段．这两个点就叫线段的端点．如图8－1－1所示．不难看出，线段也可以看成是直线上两点间的部分．如果一条直线上标出11个点，如图8－l－2所示，任何两点问的部分都是一条线段，问共有多少条线段．解：先从简单的情况着手．(1)画一画，数一数：(见图8－l－3)(2)试着分析：2个点，线段条数：1＝13个点，线段条数：3＝2

2、＋14个点，线段条数：6＝3＋2＋l5个点，线段条数：lO＝4＋3＋2＋l(3)大胆猜想：一条直线上有若干点时线段的条数总是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比点数小1．(4)进行验证：对于更多点的情况，对猜想进行验证，看猜想是否正确，如果正确，就增加了对猜想的信心．如：6个点时：对不对?——对．见图8—1—4．线段条数：5＋4＋3＋2＋1＝15(条)．(5)应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题．当直线上有11个点时，线段的条数应是：10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55(条)．例2如图8—2中(1)～(5)所示两条直线相交只有1个交点，3条直线

3、相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，……那么，11条直线相交最多有多少交点?解：从简单情况着手研究：(1)画一画、数一数(2)试着分析：直线条数最多交点数1O21＝133＝2＋146＝3＋2＋1510＝4＋3＋2＋1(3)大胆猜想：若干条直线相交时，最多的交点数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比直线条数小1．(4)进行验证：见图8—3．取6条直线相交，画一画，数一数，看一看最多交点个数与猜想的是否一致，若相符，则更增强了对猜想的信心．用猜想的算法进行计算：最多交点数应是5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．(5)应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的

4、问题．当有11条直线相交时，最多的交点数应是：10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋l＝55(个)．例3如图8—4所示，一张大饼，切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，……问切lO刀最多切成多少块?解：从最简单情况着手研究．(1)画一画、数一数(2)试着分析：、所切刀数切出的块数O112＝1＋12　4＝1＋1＋237＝1＋1＋2＋３411＝1＋l＋2＋3＋4(3)大胆猜想：把一张大饼切若干刀时，切成的最多块数等于从1开始的一串自然数相加之和加1．其中最大的自然数等于切的刀数．(4)进行验证：见图8—5对大饼切5刀的情况用两种方法求解，看结果是否一致，

5、若一致则更增强了对猜想的信心．①数一数：16块．②算一算：1＋1＋2＋3＋4＋5＝16(块)．(5)应用规律：把大饼切10刀时，最多切成的块数是：1＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝1＋55＝56(块)．习题八1．如图8—6所示，直线上有13个点，任意两点间的部分都构成一条线段，问共构成多少条线段?2．如图8—7所示，两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有六个交点，……，问十三条直线最多有几个交点?3．图8—8所示为切大饼示意图，已知切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，……，问切12刀最多切成多少块?4．如图8—9

6、所示，将自然数从小到大沿三角形的边成螺旋状，排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，．．．…，问在第十个拐弯处的自然数是几?5．如图8—10所示为切大饼的示意图．切一刀只有一种切法，切两刀有2种切法，切三刀有4种切法，……，问切十一刀有多少种切法(规定：三刀或三刀以上不能切在同一点上，如图8－11所示)?习题八解答1．解：利用例1得到的规律可知：一条直线上有若干点时，线段的条数是从l开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比点数小1．1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋1l＋12＝78(条)．2．解：利用例2得到的规律可知，有若干条直线相交

7、时，最多的交点数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比直线条数小1．14-2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝78(个)．3．解：利用例3得到的规律可知，把一张大饼切若干刀时，切成的最多块数，等于从1开始的一串自然数相加之和加1，其中最大的自然数等于切的刀数．1＋l＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝1＋78＝79(块)．4．解：方法1：观察图8—12，仔细分析找规律．第一个拐弯处2＝1＋l第二个拐弯处4＝1＋l＋2第三个拐弯处7＝1＋1＋2＋3．第四个拐弯处11＝1＋1＋2＋3＋4第