奥数:第三讲排列

奥数:第三讲排列

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1、第三讲排列  在实际生活中常遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法.就是排列问题.在排的过程中,不仅与参加排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.  例如某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间.问:应准备有多少种不同船票?  分析这个问题,可以用枚举法解决,三个城市之间,船票有下面六种设置方式:   如果不用枚举法,注意到要准备的船票的种类不仅与所选的两个城市有关,而且与这两个城市作为起点、终点的顺序有关,所以,要考虑共准备多少种不同的船票,就要在三个城市之间每次取出两个

2、,按照起点、终点的顺序排列.  首先确定起点站,在三个城市中,任取一个为起点站,共有三种选法.  其次确定终点站,每次确定了一个起点站后,只能从剩下的两个城市之中选终点站,共有两种选法.  由乘法原理,共需准备:  3×2=6  种不同的船票.  为叙述方便,我们把研究对象(如天津、青岛、大连)看作元素,那么上面的问题就是在三个不同的元素中取出两个,按照一定的顺序排成一列的问题.我们把每一种排法叫做一个排列(如天津——青岛就是一个排列),把所有排列的个数叫做排列数.那么上面的问题就是求排列数的问题.  一般地,

3、从n个不同的元素中任取出m个(m≤n)元素,按照一定的顺序排成一列.叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.  由排列的定义可以看出,两个排列相同,不仅要求这两个排列中的元素完全相同,而且各元素的先后顺序也一样.如果两个排列的元素不完全相同.或者各元素的排列顺序不完全一样,则这就是两个不同的排列.  从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数,叫做从  上面的问题要计算从3个城市中取出2个城市排成一列的排列数,就是    一般地,从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)排成一列的问题,可以看成是从

4、n个不同元素中取出m个,排在m个不同的位置上的问题,而  第一步:先排第一个位置上的元素,可以从n个元素中任选一个,有n种不同的选法;  第二步:排第二个位置上的元素.这时,由于第一个位置已用去了一个元素,只剩下(n-1)个不同的元素可供选择,共有(n-1)种不同的选法;  第三步:排第三个位置上的元素,有(n-2)种不同的选法;  …  第m步:排第m个位置上的元素.由于前面已经排了(m-1)个位置,用去了(m-1)个元素.这样,第m个位置上只能从剩下的[n-(m-1)]=(n-m+1)个元素中选择,有(n-

5、m+1)种不同的选法.  由乘法原理知,共有:  n(n-1)(n-2)…(n-m+1)  种不同的排法,即:      这里,m≤n;且等号右边从n开始,后面每个因数比前一个因数小1,共有m个因数相乘.例1  解:由排列数公式知:        例2有五面颜色不同的小旗,任意取出三面排成一行表示一种信号,问:共可以表示多少种不同的信号?  分析这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素,三面小旗表示一种信号,就是有三个位置.我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个,排在三个位置的问题.由于信号不仅与旗子的颜色有

6、关,而且与不同旗子所在的位置有关,所以是排列问题,且其中n=5,m=3.  解:由排列数公式知,共可组成     种不同的信号.  补充说明:这个问题也可以用乘法原理来做,一般,乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做,用排列数公式解决问题时,可避免一步步地分析考虑,使问题简化.例3用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数?  分析这是一个从8个元素中取5个元素的排列问题,且知n=8,m=5.  解:由排列数公式,共可组成:    个不同的五位数.例4幼儿园里的6名小朋友去坐3把

7、不同的椅子,有多少种坐法?  分析在这个问题中,只要把3把椅子看成是3个位置,而6名小朋友作为6个不同元素,则问题就可以转化成从6个元素中取3个,排在3个不同位置的排列问题.  解:由排列数公式,共有:     种不同的坐法.例5幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把),有多少种不同的坐法?  分析与例4不同,这次是椅子多而人少,可以考虑把6把椅子看成是6个元素,而把3名小朋友作为3个位置,则问题转化为从6把椅子中选出3把,排在3名小朋友面前的排列问题.  解:由排列公式,共有:      种不同

8、的坐法.例6有4个同学一起去郊游,照相时,必须有一名同学给其他3人拍照,共可能有多少种拍照情况?(照相时3人站成一排)  分析由于4人中必须有一个人拍照,所以,每张照片只能有3人,可以看成有3个位置由这3人来站.由于要选一人拍照,也就是要从四个人中选3人照相,所以,问题就转化成从四个人中选3人,排在3个位置中的排列问题.要计算的是有多少种排法.  解:由排列数公式,共可能有:     

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